Основные фигуры в пространстве

Точка A Прописные латинские буквы A, B, C, D, E, K, …

Прямая a Строчные латинские буквы a, b, c, d, e, k, …

Плоскость α Греческие буквы α, β, γ, …

Взаимное расположение точек, прямых, плоскостей в пространстве.

A α

α A

A

A

a α aα

a α a Пересекаются α

a Параллельны α

a||b a b

a b=c a b c

Параллельны

α β α β

Аксиомы стереометрии

A B C α Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

A B C α Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

α β Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. a A

Следствия из аксиом стереометрии. Теорема 1.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: прямая а, М a. Доказать: 1) α, а α, М α; 2)! α P Q a М α

Доказательство. Возьмем точки Р a, Q a.По А1 α, Р α,Q α, М α. Так как Р α и Q α, то по А2 а α. Любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки М, P, Q. Следовательно, она совпадает с α, так как по А1 через точки M, P,Q проходит только одна плоскость.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:a b=M Доказать:1) α, а α, b α; 2)!α a b M N α

Доказательство Возьмем точку N b. По Т1 α, а α,N α. Так как N b,M b и N α, М α,то по А2 b α. Итак, a α и b α. Любая плоскость, проходящая через a и b, проходит через N. Следовательно, она совпадает с α, так как по T1 через N и a проходит только одна плоскость.

Способы задания плоскости в пространстве

Двумя пересекающимися прямыми A a b

Тремя точками, не лежащими на одной прямой A B C

Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой B a

Двумя параллельными прямыми a b

Многогранники. Тела вращения.

Призмы НаклонныеПрямые ПараллелепипедыПравильные

Параллелепипеды НаклонныеПрямые Прямоугольник Куб

Пирамида Тетраэдр Правильный Тетраэдр Не тетраэдр Правильные пирамиды

Тела вращения ЦилиндрКонусШар