Решение уравнений в целых числах Васюнина Светлана ученица 8 В класса МОУ «СОШ 19 с углубленным изучением предметов физико - математического профиля» ГО Краснотурьинск

Цель: научиться решать уравнения в целых чисел различными методами

Задачи: Изучить литературу по данной теме; Рассмотреть некоторые методы решения неопределенных уравнений; Показать практическое применение неопределенных уравнений; Систематизировать и углубить накопленные мной знания; Повысить качество знаний и умений; Интеллектуально развиться.

« Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь»

Гипотеза: можно ли разрешить уравнение с двумя неизвестными и целыми коэффициентами с помощью алгоритма

ax+by=c, где a,b,c-целые, НОД(a,b)=1

Теорема 1. Если в уравнении ax+by=c, НОД (а;в)=1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении ax+by=c, НОД (а;в)=d>1, и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении ax+by=c, НОД (а;в)=d>1 и с делится на d, то оно равносильно уравнению, в котором

Теорема 4. Если в уравнении ax+by=c, НОД (а;в)=1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: х =

5x + 8y = у5 4 –3y = 5z Метод спуска

3u = 1 – 2z 1 – u = 2v u = 1 – 2v

x = 3+8v y = 3 – 5v

Х у Метод перебора В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других? Пусть х – число кроликов, а у – число фазанов: 4х + 2у = 18, или 2х + у = 9. Выражу у через х: у = 9 – 2х.

Ответ. 1)1 кролик и 7 фазанов; 2) 2 кролика и 5 фазанов; 3) 3 кролика и 3 фазана; 4) 4 кролика и 1 фазан.

Наблюдение может привести к открытию; Лучший способ изучить что- либо – открыть это самому; Нужно отыскать в задаче то, что может пригодиться при решении других задач (т.е. обнаружить общий метод).

Приобретать знания – храбрость, Приумножать их – мудрость, А умело применять великое искусство.

Спасибо за внимание!