Кристаллы и правильные многогранники Авторы Ученики 10В класса Терещенко Женя Жигулина Ольга МОУ «СОШ 2 города Кувандыка Оренбургской области.

Кристаллы – вещества, в которых мельчайшие частицы (атомы, ионы или молекулы) «упакованы» в определенном порядке. В результате при росте кристаллов на их поверхности самопроизвольно возникают плоские грани, а сами кристаллы принимают разнообразную геометрическую форму. Каждый, кто побывал в музее минералогии или на выставке минералов, не мог не восхититься изяществом и красотой форм, которые принимают «неживые» вещества.

Кристаллы – Ярой альпийской зимой лед превращается в камень. Солнце не в силах затем камень такой растопить. Римский поэт Клавдиан Интересно происхождения слова «кристалл» (оно звучит почти одинаково во всех европейских языках). Много веков назад среди вечных снегов в Альпах, на территории современной Швейцарии, нашли очень красивые, совершенно бесцветные кристаллы, очень напоминающие чистый лед. Древние натуралисты так их и назвали – «кристаллос», по-гречески – лед; это слово происходит от греческого «криос» – холод, мороз. Полагали, что лед, находясь длительное время в горах, на сильном морозе, окаменевает и теряет способность таять. Один из самых авторитетных античных философов Аристотель писал, что «кристаллос рождается из воды, когда она полностью утрачивает теплоту».

Тетраэдр (от греческого tetra – четыре и hedra – грань) - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников. Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдра Сумма длин всех ребер Тетраэдр имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер. Тетраэдр имеет 6 плоскостей симметрии, каждая из которых проходит через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.

Тетраэдр Более трехсот лет отделяют нас от того момента, когда гамбургский алхимик Геннинг Бранд открыл новый элемент – фосфор. Подобно другим алхимикам, Бранд пытался отыскать эликсир жизни или философский камень, с помощью которых старики молодеют, больные выздоравливают, а неблагородные металлы превращаются в золото. В ходе одного из опытов он выпарил мочу, смешал остаток с углем, песком и продолжил выпаривание. Вскоре в реторте образовалось вещество, светившееся в темноте. Фосфорноватистая кислота Н 3 РО 2 Молекула имеет форму тетраэдра с атомом фосфора в центре, в вершинах тетраэдра находятся два атома водорода, атом кислорода и гидроксогруппа. Кристаллы белого фосфора образованы молекулами Р 4. Такая молекула имеет вид тетраэдра.

Тетраэдр Кристаллическая решётка метана имеет форму тетраэдра. Метан горит бесцветным пламенем. С воздухом образует взрывоопасные смеси. Используется как топливо. Молекулы зеркальных изомеров молочной кислоты также являются тетраэдрами.

Тетраэдр Элементарная ячейка кристалла алмаза представляет собой тетраэдр, в центре и четырех вершинах которого расположены атомы углерода. Атомы, расположенные в вершинах тетраэдра, образуют центр нового тетраэдра и, таким образом, также окружены каждый еще четырьмя атомами и т.д. Все атомы углерода в кристаллической решетке расположены на одинаковом расстоянии (154 пм) друг от друга. Строение решетки алмаза

Куб (гексаэдр) (от греческого hex шесть и hedra грань) - правильный многогранник, составленный из 6 квадратов. Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдра Сумма длин всех ребер Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра ( таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3).

Куб (гексаэдр) КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА ПОВАРЕННОЙ СОЛИ. Маленькие шарики – ионы натрия, большие – ионы хлора. Все кристаллы поваренной соли имеют одинаковую кубическую форму.

Куб (гексаэдр) Форму куба имеют кристаллические решётки многих металлов (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, и другие)

Октаэдр ( от греческого okto – восемьи hedra – грань) – правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников. Октаэдр обладает симметрией. Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер. Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его осей симметрии. Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной плоскости. Шесть плоскостей симметрии проходят через две вершины, не принадлежащие одной грани, и середины противоположных ребер. Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдра Сумма длин всех ребер

Шестой элемент периодической системы С (углерод) характеризуется структурой октаэдра.Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра. Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже кубов или тетраэдров. Октаэдр

Шестой элемент периодической системы С (углерод) характеризуется структурой октаэдра. Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра. Алмаз (от греческого adamas – несокрушимый) – бесцветный или окрашенный кристалл с сильным блеском в виде октаэдра. Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже кубов или тетраэдров. Октаэдр

Додекаэдр ( от греческого dodeka – двенадцать и hedra – грань) – это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Плоскостей симметрии 9 и проходят они либо через противоположные ребра (таковых плоскостей 6), либо через середины противоположных ребер (таких - 3). Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра. Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдра Сумма длин всех ребер

Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов. В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров. Додекаэдр Фуллерены – одна из форм углерода. Они были открыты при попытке моделировать процессы, происходящие в космосе. Ученым в земных лабораториях удалось синтезировать и исследовать многочисленные производные этих шарообразных молекул. Возникла химия фуллеренов. Ведутся попытки создать на основе фуллеренов материалы для зарождающейся молекулярной электроники.

Икосаэдр (от греческого ico шесть и hedra грань) правильный выпуклый многогранник, составленный из 20 правильных треугольников. Радиус вписанной сферы Радиус описанной сферы Объем Площадь поверхности тетраэдра Сумма длин всех ребер Правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Плоскостей симметрии также 15..

Икосаэдр В природе встречаются объекты, обладающие симметрией 5-го порядка. Известны, например, вирусы, содержащие кластеры в форме икосаэдра. Открытие фуллерена, молекула которого С60 также обладает этим типом симметрии, стимулировало интерес к подобным объектам. Г.Хуберт с сотрудниками (H.Hubert ; Аризонский университет, США) синтезировали кристаллы B6O из смеси B и B2O3, которая выдерживалась при температуре 1700oС и давлении от 4 до 5.5 ГПа в течение 30 мин. Образовавшийся субоксид бора имеет ромбоэдрическую кристаллическую решетку с одним из плоских углов при вершине, равным 63.1 °. Это значение очень близко к величине угла 63.4 °, необходимого для того, чтобы из 20 тетраэдров можно было составить правильный икосаэдр. "Первичные" икосаэдры способны группироваться в более крупные кластеры: центральный икосаэдр окружен 12 такими же частицами, центры которых лежат в вершинах более крупного икосаэдра "второго порядка". Число атомов в таком "сверхкластере" может достигать 1014.

Благодарим за внимание! Литература: 1.Винниджер. Модели многогранников. М., Геометрия: Учеб. для кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.–5-е изд.– М.: Просвещение, Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, Смирнова И.М. В мире многогранников. М., Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., Web - ресурсы: