Понятие правильного многогранника Босая Владлена 10 «А»

Понятие правильного многогранника Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранники является куб.

Понятие правильного многогранника Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу. Можно доказать, что равны также все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n6. В самом деле, угол правильного n-угольника при n6 не меньше 120˚.

Понятие правильного многогранника С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n- угольники при n6, то сумма плоских углов при каждой вершине многогранника должна быть не менее чем 120˚·3=360˚. Но это не возможно.

Понятие правильного многогранника По этой причине каждая вершина правильного многоугольника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. В соответствии с этим получаем следующие правильные многоугольники:

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180˚. Понятие правильного многогранника

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равно 240˚.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равно 300˚. Понятие правильного многогранника

Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равно 270˚. Понятие правильного многогранника

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равно 324˚.

Понятие правильного многогранника Замечания. Число граней f, ребро k и вершин e каждого из правильных многогранников можно найти с помощью теоремы Эйлера. В самом деле, пусть n – число ребер каждой грани, m – число ребер, сходящихся к каждой вершине. Поскольку каждое ребро принадлежит двум граням, то nf=2k. Кроме того, me=2k (так как каждое ребро содержит две вершины) и по теореме Эйлера f+e–k=2.

Понятие правильного многогранника

Понятие правильного многогранника Спасибо за внимание.