Работу выполнила ученица 10 класса Пепина Елена. МОУ Полянская СОШ 2008 год.

Исследование функции с помощью производной. f(x)=2x 3 -6x 2 +4

1. Область определения. Областью определения функции являются все значения, которые принимает переменная x, или аргумент. D(f)=R.

2. Чётность или нечётность функции. Функция f является чётной, если для любого x из её области определения выполняется равенство f(-x)=f(x). Функция f является нечётной, если для любого x из её области определения выполняется равенство f(-x)=-f(x). f(-x)=2(-x) 3 -6(-x) 2 +4=-2x 3 -6x 2 +4,значит функция не является ни чётной, ни нечётной, является периодичной.

3. Точки пересечения графика функции с осями координат. Точки, в которых график функции пересекается с осью х имеют ординаты, равные нулю, т.е. f(x)=0, тогда получаем уравнение 2х 3 -6х 2 +4=0. 2х 3 -4х 2 -2х 2 +4=0 (2х 3 -2х 2 )-(4х 2 -4)=0 2х 2 (х-1)-4(х 2 -1)=0 2х 2 (х-1)-4(х-1)(х+1)=0 2(х-1)(х 2 -2(х+1))=0 х-1=0 или 2х 2 -4х-4=0 х=0 или х 2 -2х-2=0 D=b 2 -4ac=4+8=12 х 1,2 = (-b±12)/2a=(2±12)/2=(2±23)/2=(2(1±3))/2=1±3 х 1 =1+3; х 2 =1-3; х 3 =1. f(x) пересекается с осью х в точках (1-3;0); (1;0); (1+3;0).

Точка, в которой график функции пересекается с осью у имеет абсциссу, равную 0,т.е. находим f(0). F(0)=4, значит f(x) пересекается с осью у в точке (0;4).

4. Промежутки знакопостоянства. Промежутки знакопостоянства функции- это промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения. Для нахождения этих промежутков решаем неравенства: f(x)>0 и f(x)0 и 2х 3 -6х 2 +4

Промежутки знакопостоянства f(x)>0 на (1-3;1)υ(1+3;+) f(x)

5. Промежутки возрастания и убывания. Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, находим производную функции f(x)=(2x 3 -6x 2 +4)=6x 2 -12x. Функция непрерывна и дифференцируема на всей области определения. Находим нули производной f(x)=0 6x 2 -12x=0 6x(x-2)=0 x=0 или x-2=0 x=2 Эти точки являются критическими точками функции.

Промежутки возрастания и убывания f(x)на (-;0] и [2;+), т.к. f(x)>0 на (-;0)υ(2;+). f(x)на [0;2], т.к. f(x)

6. Экстремумы функции. Находим точки экстремума и экстремумы функции. x max =0; f(0)=4 x min =2; f(2)=-4

7. График функции.