Муниципальное общеобразовательное учреждение Морткинская средняя общеобразовательная школа код участника:999 Геометрия 11 класс Презентация к разделу: «Многогранники»

Содержание Определение История Виды многогранников Двойственность Многогранники и мир Развертки Другие многогранники Проверь себя

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер

История возникновения учения Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней, ХIII книге Евклида, является венцом его «Начал». Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а именно показывает, как их вписать в сферу. Затем доказывает, что, кроме пяти тел, нет других правильных многогранников

Тетраэдр (от греческих слов «тетра» - четыре и (h)еdra – грань), имеет 3 ребра при вершине, 4 грани, 4 вершины, 6 ребер. Составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 ˚ Тетраэдр

Гексаэдр (от греческих слов «гекса» - шесть и (h)еdra – грань), имеет 3 ребра при вершине, 6 граней, 8 вершин, 12 ребер. Составлен из шести квадратов. Каждая вершина гексаэдра является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 ˚ Гексаэдр

Октаэдр (от греческих слов «окто» - восемь и (h)еdra – грань), имеет 4 ребра при вершине, 8 граней, 6 вершин, 12 ребер. Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 ˚ Октаэдр

Икосаэдр (от греческих слов «эйкоси» - двадцать и (h)еdra – грань), имеет 5 ребер при вершине, 20 граней, 12 вершин, 30 ребер. Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 ˚ Икосаэдр

Додекаэдр (от греческих слов «додека» - двенадцать и (h)еdra – грань), имеет 3 ребра при вершине, 12 граней, 20 вершин, 30 ребер. Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 ˚ Додекаэдр

Двойственность правильных многогранников

Правильные многогранники и мир В Древней Греции пяти правильным многогранникам придавали особый мистический смысл, называли их платоновыми телами. Согласно Платону, атомы четырех основных элементов, из которых строится мир, имеют форму правильных многогранников.

Правильные многогранники и мир Огню соответствует тетраэдр Земле – куб Воздуху – октаэдр Воде – икосаэдр Вселенной - додекаэдр

Развертки правильных многогранников

Правильные невыпуклые многогранники

Полуправильные многогранники («архимедовы тела»)

Проверь себя Назови правильные многогранники октаэдр икосаэдр октаэдр икосаэдр тетраэдр додекаэдр тетраэдр додекаэдр гексаэдр (куб) гексаэдр (куб)

Проверь себя Что символизируют данные многогранники? воздух вода воздух вода огонь Вселенная огонь Вселенная земля земля

Проверь себя Последняя фраза «Начал» Евклида: «Итак, кроме упомянутых пяти тел нельзя построить другой телесной фигуры, заключенной между равносторонними и равноугольными фигурами, что и требовалось доказать». Докажите это Подсказка: Рассмотрите сумму плоских углов при каждой вершине