Презентацию выполнила Пшегорская Наталья 8 Б класс МОУ лицей 1

ВВЕДЕНИЕ. Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, очень много детских игрушек подобны предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Понятие подобия, наряду с понятием движения, является одним из важных понятий геометрии. Подобие используется при определении расстояний до недоступных предметов, в устройствах различных измерительных инструментов и приборов. Идея подобия треугольников дает эффективный метод решения большого класса задач на доказательство, построение, вычисление. Доказательство теорем с привлечением подобия значительно проще доказательств, основанных на признаках равенства треугольников. В большинстве случаев эти доказательства не связаны со вспомогательными построениями.

Признаки подобия треугольников геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов. геометрическиепризнакитреугольникаподобными

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны

Второй признак подобия треугольников Если две пары сторон треугольников пропорциональны, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

ЗАДАЧА 1 Всемирно известный писатель Артур Конан Дойл был врачом. Но он очень хорошо, видимо, знал геометрию. В рассказе Обряд дома Месгрейвов он описал, как Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будут конец тени от вяза, который срубили. Он знал высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: … я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать.

Задача 1. Измерение высоты дерева Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, приготовили прямоугольный треугольник АВ1C1 с углом А = 45о и, держа его вертикально, отошли на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ1, увидели верхушку дерева В. Какова высота дерева, если расстояние АС = 5,6м, а высота человека 1,7м? Дано: АВ1С1, С = 90о, А = 45о. АС = 5,6м h человека = 1,7м. Найти: BD

РЕШЕНИЕ. 1) Так как А общий для обоих треугольников, а АС1В1 и АСВ (по условию) прямые (то есть равны по 90о), то АС1В1 и АСВ – подобные (по признаку подобия о 2-х углах). 2) Тогда АВ1C1 = АВС = 45о, => ВС = АС = 5,6м, но к получившейся длине мы должны еще прибавить рост человека, то есть длина дерева DB = 7,3м. Ответ: 7,3м.

ЗАДАЧА 2 Теплоход от Г до А идет 5 суток, а от А до Г – 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Г до А?

РЕШЕНИЕ. Строим графики движения туристов (рис. 3). Из условия задачи ГА = 5, AC = 7; требуется найти ГР. Скорость движения теплохода относительно плывущего плота одна и та же как по течению реки, так и против течения, поэтому если теплоход и плот выйдут из Г одновременно, то теплоход, возвращаясь из А, встретит плот через столько же дней, сколько он потратил на путь из Г в А, следовательно, ГА=AB=5. Так как A DC ~ BKC и BKГ ~ PFГ, то ГР = 35. Ответ: плот будет плыть от А до В 35 дней

ЗАДАЧА 1 Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

РЕШЕНИЕ. Дано: AMN, АВ = 50м, MN = 22м, BN = 500м Найти: КВ. Решение: АКВ ~ АМN (по 2-м углам: А – общий, АВК и AMN – прямые, а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны Следовательно, м То есть Ответ: 2 м.

ЗАДАЧА 4 Из двух населенных пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй в А – через 2 ч 30 мин. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

РЕШЕНИЕ. Построим графики движения туристов (рис.1). По условию задачи PR – PK = 2; KC = 1,6; RD = 2,5; требуется найти AB, Из подобия треугольников ( BKP ~ DRP, CKP ~ ARP) следует, что Но BK=AR, поэтому или ARІ = 1,6 · 2,5, AR = 2. Далее Откуда PK = 8 км, AB = 18 км, V1 = 5 км/ч, V2 = 4 км/ч. При решении этой задачи можно было бы использовать соотношение: