Лекция 2 – Идентификация закона распределения вероятностей одномерной случайной величины 2.1. Основные определения 2.2. Этапы обработки данных одномерной случайной выборки: выявление закона и параметров распределения вероятностей случайной величины 2.3. Некоторые законы распределения непрерывных случайных величин: Непрерывное равномерное распределение, Нормальное распределение, Хи-квадрат распределение, распределение Стьюдента, распределение Фишера В рамках статистики случайных величин (одномерной статистики) рассмотрим методы систематизации и анализа статистических данных, полученных при фиксировании значений одномерного количественного признака объектов случайной выборки. © Кокодей Т.А., 2012

2.1 Основные определения Случайной величиной (СВ) X называется величина, которая принимает заранее неизвестное значение из определённого множества Если это множество является счетным, то случайную величину называют дискретной; иначе ее называют непрерывной. © Кокодей Т.А., 2012

Значениям или наборам значений случайной величины соответствуют вероятности их получить в результате наблюдения (или опыта). Статистическое определение: вероятность как степень объективной возможности появления определённого значения признака (СВ Х) это относительная частота: Рi=mi/n, где - mi число наблюдений, в которых зафиксировано значение xi признака Х; n - общее число произведённых наблюдений (объём выборки).

© Кокодей Т.А., 2012 Законом распределения вероятностей случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, например, в следующих формах: -Таблица распределения относительных частот (вероятностей) СВ, - Гистограмма распределения относительных частот случайной величины, -Функция распределения вероятностей СВ, -Функция плотности распределения вероятностей случайной величины и др.

© Кокодей Т.А., Этапы обработки данных одномерной случайной выборки: выявление закона и параметров распределения вероятностей случайной величины а. Формирование вариационного ряда: На начальном этапе наблюдавшиеся значения (варианты) xi количественного признака Х (дискретного или непрерывного) располагают в порядке их возрастания – строится вариационный ряд, который может быть дискретным или интервальным. Например, приведем оценки 45 студентов за тест: Вариационный ряд: Оценки (x i ) Абсолютная частота mi 4/45 16/45 18/45 7/45

© Кокодей Т.А., 2012 б. Составление «таблицы распределения относительных частот (вероятностей)», которая устанавливает соответствие между значениями признака Хi и вероятностями получить данные значения (Рi=mi/n): Xi (оценки) 2345 Рi (вероятность или относительная частота) 0, (=4/45) 0, =16/45)0,4 (=18/45) 0, (=7/45) Сумма вероятностей (относительных частот) =1

© Кокодей Т.А., 2012 в. Расчёт выборочных характеристик распределения: среднее арифметическое (математическое ожидание), мода, медиана, минимальное и максимальное значение, размах вариации, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации и т.д. г. Графическое представление - гистограмма распределения относительных частот/вероятностей - дополняет табличное : Гистограмма дискретного распределения вероятностей СВ Х. mi/n хiхi

© Кокодей Т.А., 2012 д. Построение выборочной (эмпирической) функции распределения вероятностей СВ: F(x) = P (Xi < x), i = 1,2, …, n Данная функция определяет для всех непрерывных или дискретных значений признака вероятность того, что случайная величина Хi принимает значения, меньшие некоторого заданного числа х. Свойства функции распределения : 1. F(x) - неубывающая функция Функция распределения случайной величины Хi (оценок студентов): Xi2345 РiРi 0, , ,40, F(xi) 00,088890,444450,84445

© Кокодей Т.А., 2012 График функции распределения случайной дискретной величины Х (ступенчатое) Пример функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины X х F(х)

е. Построение эмпирической функции плотности распределения вероятностей СВ (только для непрерывной случайной величины) Функция плотности распределения вероятностей СВ f(x) это вероятность того, что непрерывная случайная величина Xi окажется равной некоторому заданному числу х., т.е. Свойства функции f(x): 1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: 2. Интеграл в бесконечных пределах от функции плотности распределения равен единице:. © Кокодей Т.А., 2012

3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (a,b): ж. Анализ полученных локальных (выборочных) закономерностей, в соответствии с которыми формируется теоретический закон распределения СВ для генеральной совокупности. 4. По известной плотности функцию распределения можно найти как интеграл

© Кокодей Т.А., 2012 Коэффициент эксцесса (Kurtosis)- показывает «островершинность» или степень отклонения закона распределения исследуемой случайной величины от нормального распределения Коэффициент асимметрии (Skewness)- используется в качестве меры асимметрии

. © Кокодей Т.А., Некоторые законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин : НЕПРЕРЫВНОЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ХИ-КВАДРАТ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, T- РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА, F- РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА

. © Кокодей Т.А., 2012 НЕПРЕРЫВНОЕ РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Функция плотности распределения вероятностей случайной величины Х Функция распределения вероятностей случайной величины Х

. © Кокодей Т.А., 2012 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАУССА Функция плотности распределения:Функция распределения: m и σ² – среднее и дисперсия СВ

. © Кокодей Т.А., 2012 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПИРСОНА Распределение (хи-квадрат) с k степенями свободы это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин:. Число степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин. Функция плотности распределения: Функция распределения:,

© Кокодей Т.А., 2012 Т-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА Функция плотности распределения: Функция распределения: Где Г гамма-функция Эйлера Распределение случайной величины t: где независимые стандартные нормальные случайные величины - гипергеометрическая функция

. © Кокодей Т.А., 2012 F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА Функция плотности распределения: Функция распределения: Распределение случайной величины F: где Y1 и Y2 - две независимые случайные величины, имеющие распределение хи- квадрат, а d1 и d2 – числа степеней свободы f(x)= F(x)=

Домашняя работа В течение одного случайно выбранного дня в магазине одежды и обуви JC Penny (США) фиксировались размеры обуви и длины ступней всех покупателей (случайные величины Х и Z). Полученные статистические данные для всех 20-ти покупателей представлены ниже: 23,8 (38); 23 (37); 24,2(38); 24 (38); 21,7 (35); 26,2 (43); 25,1 (40); 23 (37); 24,6 (39); 23,8 (38); 25,4 (41); 24 (38); 25,1 (40); 27,1(44);22,5 (36); 23,9 (38); 23,9 (38); 23,9 (38); 22,9 (37); 24,9 (39) 1. Построить дискретный и интервальный вариационные ряды по дискретным (Х) и непрерывным (Z) данным 2. Составить таблицы распределения вероятностей случайных величин X и Z 3. Построить гистограмму дискретного распределения вероятностей СВ X 4. Определить эмпирическую функцию распределения вероятностей Х и построить её график 5. Построить график эмпирической функции плотности распределения вероятностей Z (поскольку вариационный ряд интервальный следует перейти к серединам интервалов). При выполнении задания использовать данную таблицу соответствий размеров обуви длине ступни и заданные интервалы значений Z