Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмическая функция Функцию вида y = log a (x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а. Функцию вида y = log a (x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а.

График функции

Свойства функции 1) D(x) ( 0;+); 1) D(x) ( 0;+); 2) E(y) (- ;+ ) 2) E(y) (- ;+ ) 3) Функция возрастает при a>1 и убывает при 0 1 и убывает при 0<a<1 4) График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0) 4) График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0) 5) Возрастающая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0 1, и отрицательной при 0<х<1 6) Убывающая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0 1, и положительной при 0<x<1 7) Функция не является четной или нечетной 7) Функция не является четной или нечетной 8) Функция не имеет точек максимума и минимума 8) Функция не имеет точек максимума и минимума

Логарифмические уравнения Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log a (x) = b. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида log a (x) = b.

Решение логарифмических уравнений Решением логарифмического уравнения log a (x) = b является x = a^b при условии: a >0, a 1. Решением логарифмического уравнения log a (x) = b является x = a^b при условии: a >0, a 1. b = b · 1 = b · log a a = log a a^b log a (x)=log a a^b x = a^b b = b · 1 = b · log a a = log a a^b log a (x)=log a a^b x = a^b

Способы решения log 2 х = log 2 16 log 2 х = log 2 16 Сразу видно видно, что, опустив знак логарифма, получим х = 16. Сразу видно видно, что, опустив знак логарифма, получим х = 16. Этот метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила для подобного рода операций: Этот метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила для подобного рода операций: одинаковые числовые основания у логарифмов одинаковые числовые основания у логарифмов логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно

Примеры решения 1) log 3 (2 х-5) = log 3 х 2 х-5 = х 2 х-5 = х х=5 х=5 2) log 3 (2 х-1) = 2 3^2 = 2 х-1 3^2 = 2 х-1 2 х-1 = 9 2 х-1 = 9 х =5 х =5

Логарифмические неравенства Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим. Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим. Например, неравенства вида: Например, неравенства вида: При a>0, a 1 являются логарифмическими При a>0, a 1 являются логарифмическими

Пример решения Решить неравенство log 8 (x^2-4x+3)<1 Решить неравенство log 8 (x^2-4x+3)<1 Так как основание логарифма больше единицы (а=8), то данное неравенство эквивалентно системе: Так как основание логарифма больше единицы (а=8), то данное неравенство эквивалентно системе: или или Решим неравенства методом интервалов. Решим неравенства методом интервалов. x^2-4x+3=0 при x 1 =1, x 2 =3 x^2-4x+3=0 при x 1 =1, x 2 =3 Определяя знаки, получим: Определяя знаки, получим: x^2-4x-5=0 при x 1 =-1, x 2 =5. x^2-4x-5=0 при x 1 =-1, x 2 =5. Определяя знаки, получим Определяя знаки, получим Совмещая промежутки, имеем: Совмещая промежутки, имеем: Ответ: Ответ: