Квадратные уравнения цикл уроков алгебры в 8 классе по учебнику А.Г. Мордковича

Цели: ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать умение решать квадратные уравнения; показать способ решения полных квадратных уравнений с использованием формулы корней квадратного уравнения.

Содержание 1. Основные понятия. 2. Полное и неполное квадратные уравнения. 3. Корень квадратного уравнения. 4. Формулы корней квадратного уравнения 5. Алгоритм решения квадратного уравнения 6. Закрепление 7. Немного истории 8. Самостоятельная работа

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей веры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводя только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилонии, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида где коэффициенты а, в, с – любые действительные числа, причем Многочленназывают квадратным трехчленом. а – первый, или старший коэффициент в – второй коэффициент с – свободный член

Определение 2. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют не приведенным, если старший коэффициент отличен от 1. Пример = 0 - не приведенное квадратное уравнение - приведенное квадратное уравнение

Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых. а + вх + с = 0 Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов в, с равен нулю.

Способы решения неполных квадратных уравнений.

Решить задания (a,б) Решите уравнение: или Ответ. или Ответ.

Определение 4 Корнем квадратного уравнения Называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трёхчлен Обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

- дискриминант квадратного уравнения D<0 D>0 D=0 Уравнение не имеет корней Уравнение имеет два корня Уравнение имеет один корень Формулы корней квадратного уравнения

D>0 квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам Пример. Решить уравнение Решение. а = 3, в = 8, с = -11, Ответ: 1; -3

Алгоритм решения квадратного уравнения 1. Вычислить дискриминант D по формуле D= 2. Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней. 3. Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень: 4. Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня:

Выбрать квадратные уравнения и определить значения их коэффициентов.

Указать приведенные квадратные уравнения

Решить задания 25.5 (а, б): Решить уравнения: Ответ.

Проверь себя

Использованная литература А.Г. Мордкович Алгебра, 8 класс – Москва, «МНЕМОЗИНА», 2009 год Ткачева М.В. Домашняя математика, 8 класс- Москва, «Просвещение», 1996 год Энциклопедический словарь юного математика –Москва, «Педагогика», 1985 год Алгебра поурочные планы по учебнику А.Г. Мордковича. Волгоград издательство «Учитель» 2004 г