х Перешивкина А. Ю. Учитель математики ГБОУ школа 494 г. Санкт – Петербурга 2012

Корни многочлена делят числовую ось на промежутки, на каждом из которых функция сохраняет свой знак без изменения - либо везде положителен, либо отрицателен.

х у 0 Исследуем линейную функцию: у = kx + b k > 0 k < 0 у х 0 При переходе через корень функция сменила свой знак на противоположный, и знак крайнего правого промежутка совпадает со знаком старшего коэффициента. k > 0 k < 0 х 0 х 0 х 0 х 0

х у Исследуем квадратичную функцию: у = ax 2 + bх+с a > 0, D > 0 a 0 у х 0 При переходе через корень функция сменила свой знак на противоположный, и знак крайнего правого промежутка совпадает со знаком старшего коэффициента. a > 0 a < 0 х 1 х 1 х 2 х 2 х 1 х 1 х 2 х 2

х Исследуем квадратичную функцию: у = ax 2 + bх+с a > 0, D = 0 a < 0, D = 0 у х 0 При переходе через корень функции свой знак не поменяла, знак старшего коэффициента совпадает со знаком крайнего правого промежутка. у 0 a > 0 a < 0 х 0 х 0 х 0 х 0

х Исследуем квадратичную функцию: у = ax 2 + bх+с a > 0, D < 0 a < 0, D < 0 у 0 0 у х Функция сохраняет свой знак на всей числовой оси. a < 0 a > 0

Выводы: 1) если корень функции встречается нечетное число раз, то при переходе через него функция меняет свой знак на противоположный; - если корень встречается четное число раз, то при переходе через него функция свой знак сохраняет; 2) если корней нет, то функция сохраняет свой знак на всей числовой оси; 3)знак на любом из промежутков можно определить методом подстановки; 4) знак справа от большего корня совпадает со знаком старшего коэффициента многочлена.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов: привести неравенство к сравнению многочлена с нулем; найти корни многочлена, для дробно – рациональных неравенств корни числителя и знаменателя находят отдельно; нанести корни на числовую ось (если неравенство строгое, то корни на числовой оси «выкалываем;» корни знаменателя «выкалываем» всегда, т. к. на нуль делить нельзя); определить знак на одном из промежутков; расставить знаки на всех остальных промежутках; записать ответ в соответствии со знаком неравенства. Методом интервалов решают неравенства с нулем в правой части: f(x) > 0; f(x) > 0. g(x)

Решение неравенств

x 2 – 3 х – 4 0 х 4 Неравенство готово для решение методом интервалов, т. к. в правой части находится нуль. Находим корни. Корни : x 2 – 3 х – 4 = 0 х 1 + х 2 = 3 х 1 х 2 = - 4 х 1 = 4 х 2 = а =1> 0 а =1> 0 Ответ: (- [4; + Ответ: (- ; -1] U [4; + )

2 2. – x х – 8 > 02. – x х – 8 > 0 х 4 Корни : - x х - 8 = 0 | x (-1) x х + 8 = 0 x х + 8 = 0 х 1 + х 2 = 6 х 1 х 2 = 8 х 1 = 2 х 2 = 4 > 0 > 0 > 0 > 0 а = -1 < 0 а = -1 < 0 Ответ: (2;4 Ответ: (2;4 )

3. 3x x 2 1 х Корни : 3x = 0 3 х 2 = 1 х 2 = 1 х = ± 1 а = 3 > 0 а = 3 > 0 Ответ: 3x x

1 4. x 2 – 2 х + 1 > 0 х Корни : x 2 – 2 х +1 = 0 (х – 1) 2 = 0 х = 1 (2 раза) > 0> 0> 0> 0 а =1> 0 а =1> 0 Ответ: (- (1; + Ответ: (- ; 1) U (1; + ) чёт 5. х х Ответ: (- + Ответ: (- ; + ) 6. х х + 1 < 0 Ответ: Ø 7. х х х х Ответ: 1

3 8. (x – 3) 18 > 0 х Корни : x - 3 = 0 х = 3 (18 раз) 18 четная степень четная степень Ответ: (- (3; + Ответ: (- ; 3) U (3; + ) чёт Обращаем внимание на знак перед старшим коэффициентом и на четность – нечетность степени. а =1> 0 а =1> 0

5 9. (5 – х) 5 0 х Корни : 5 - х = 0 х = 5 (5 раз) х = 5 (5 раз) 5 нечетная степень нечетная степень Ответ: (- Ответ: (- ; 5] а = -1< 0 а = -1< 0

1 10. (1 - 3x) (1 - 3x) 50 0 х Корни : 1 - 3x = 0 х = (50 раз) 50 четная степень четная степень Ответ: чёт а =- 3 < 0 а =- 3 <

3 11. (x – 1)(х – 2)(3 – х) 011. (x – 1)(х – 2)(3 – х) 0 х Корни : 1 ; 2 ; 3 Ответ: (- [2;3] Ответ: (- ; 1] U [2;3] Знак произведения отрицательный. а 1 =1> 0 а 1 =1> 0 а 2 =1> 0 а 2 =1> 0 а 3 = -1< 0 а 3 = -1< 0 12

1 12. (x 2 – 1)(х 2 + 4x – 5) 012. (x 2 – 1)(х 2 + 4x – 5) 0 х Корни : ±1 ; -5 ; 1 Ответ: [ - 5; 1]{1} Ответ: [ - 5; 1] U {1} чёт Знак произведения положительный. а 1 =1> 0 а 1 =1> 0 а 2 =1> 0 а 2 =1> чёт чёт

х Корни числителя : ± 2 Ответ: [ - 2; 2) (2; 6) Ответ: [ - 2; 2) U (2; 6) чёт Знак дроби отрицательный. а 1 < 0 а 1 < 0 а 2 > 0 а 2 > чёт чёт 4 – x 2 4 – x 2 x х +12 x х Корни знаменателя : 2; 6 2; (корни знаменателя «выкалываем» всегда) (корни знаменателя «выкалываем» всегда)

х Корни числителя : ± 1 (2 раза); 2 (3 раза); 3 (4 раза) чёт Знак дроби отрицательный (1 – x) 2 (2 – х) 3 (3 – х) 4 x2 – 4 x2 – 4 x2 – 4 x2 – Корни знаменателя : ±2 ±2 1 чётчёт Ответ: (- {1;3} Ответ: (- ; 2) U {1;3}

х Корни числителя : x < 1 < 1 Корни знаменателя : 0 Ответ: (- ( 1; + Ответ: (- ; 0) U ( 1; + ) 1 x - 1< 0 1- x 1- x x < 0 < 0

Используемая литература. Сайт учителя математики Савченко Елены Михайловны Дидактические материалы по алгебре для 8 класса /В.И.Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Д. Миндюк. – М.:Просвещение Дробно-рациональные неравенства /А.Х.Шахмейстер. – СПб.: «Че Ро- на –Неве». Задачи и материалы с курсов повышения квалификации в Санкт – Петербургском государственном университете повышения педагогического мастерства по программе: «Стандарты математического образования». Курс: «Уравнения и неравенства» Зорина Н. А.