Окружность, касательная к окружности, центральные и вписанные углы. МБОУ гимназия 3 г. Мурманска Шахова Татьяна Александровна.

Необходимо знать. O Радиус, проведенный в точку касания… А В перпендикулярен касательной.

Необходимо знать. OO Центральный угол:Вписанный угол: АВ А В С

Необходимо знать. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны, если они лежат по одну сторону хорды. А В С D А В С D Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду в сумме составляют 180 0, если они лежат по разные стороны хорды.

Более подробный теоретический материал представлен в тренажере.

Решение некоторых задач из тренажера.

Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна Ответ дайте в градусах. C А В D О ? Решение: Так как угол АОD – центральный и опирается на дугу AD. Так как смежные. ОА – радиус, проведенный в точку касания. Из треугольника АОС: 152 0

Угол ACO равен 28 0, где O центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах. C А В D О 28 0 Решение: Так как угол АОВ – центральный. Так как ОА – радиус, проведенный в точку касания. Из треугольника АОС: ?

Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно и Ответ дайте в градусах. B A D E C O ? Решение: Так как – вписанный и опирается на дугу DE. Так как – вписанный и опирается на дугу BA. Из треугольника АDС: Так как смежные.

Угол ACB равен Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах. B A D E C O Решение: Так как – вписанный и опирается на дугу BA. Из треугольника АDС: Так как смежные. ?

Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах. O Решение: ? A B C Рассмотрим треугольник ОСВ. ОС=ОВ так как радиусы одной окружности. ВС=ОС=ОВ по условию. => Треугольник ОСВ – равносторонний. => Угол СОВ=60 0 => Величина дуги ВС=60 0. Так как – вписанный и опирается на дугу BС. Так как угол СОВ – центральный и опирается на дугу BС.

Найдите хорду, на которую опирается угол 30 0, вписанный в окружность радиуса 43. O Решение: 30 0 A B C Рассмотрим треугольник ОСВ. ОС=ОВ так как радиусы одной окружности. Угол СОВ=60 0. => Треугольник ОСВ – равносторонний. => СВ=43 ? 43 Так как угол СAВ – вписанный и опирается на дугу BС. Так как угол СОВ – центральный и опирается на дугу BС.

? Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 482. Ответ дайте в градусах. O Решение (9 класс): A B C Рассмотрим треугольник ОСВ. Воспользуемся теоремой косинусов. Найдем угол СОВ. C B O Так как – вписанный и опирается на дугу BA.

? Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 482. Ответ дайте в градусах. O Решение (8 класс): A B C Рассмотрим треугольник ОСВ. C B O Так как – вписанный и опирается на дугу BA. H По теореме Пифагора из треугольника СОН: Треугольник ОСН равнобедренный прямоугольный угол СОН=45 0 угол СОВ=90 0

Найдите хорду, на которую опирается угол 120 0, вписанный в окружность радиуса 483. Решение: A B C Рассмотрим треугольник ОСВ. C B O Так как на дугу СВ опирается вписанный угол САВ. H Из треугольника СОН: Д. п. – ОН – высота. ? O 60 0 В решении использовано свойство равнобедренного треугольника

Центральный угол на 36 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C Так как – вписанный и опирается на дугу СВ.

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C Так как – вписанный и опирается на дугу АВ

Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C Так как – вписанный и опирается на дугу АВ. 7 частей 5 частей

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C Так как – вписанный и опирается на дугу АВ. 5 частей 1 часть 3 части

Треугольник ОСВ равнобедренный так как ОС и ОВ радиусы одной окружности АС и ВD диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C Так как – вертикальные D

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C D

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0, угол CAD равен Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C D 35 0 Так как угол ABC– вписанный и опирается на дугу АDC. Так как угол CAD– вписанный и опирается на дугу DC. Так как угол АBD– вписанный и опирается на дугу AD. ?

Д ва угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82 0 и Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C 58 0 D 82 0 Данные углы не могут быть противолежащими так как два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды. Очевидно, что больший из оставшихся углов – угол АВС. ? 58 0

Хорда AB стягивает дугу окружности в Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C 92 0 Из равнобедренного треугольника АОВ: ? Так как угол АОВ – центральный и опирается на дугу АВ. Свойство радиуса, проведенного в точку касания.

Через концы A, B дуги окружности в 62 0 проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. O Решение: A B C Так как сумма углов четырехугольника = ? 92 0 Так как угол АОВ – центральный и опирается на дугу АВ. Свойство радиуса, проведенного в точку касания.

Работай с тренажером. Если есть вопросы, обращайся за помощью.