Основные понятия теории вероятностей

Базовые понятия теории вероятности Событие Событие Событие Опыт Опыт Опыт Переменная величина Переменная величина Переменная величина Переменная величина

Понятие опыт Определение. Под опытом понимается воспроизведение некоторого комплекса условий. При этом предполагается, что опыт может быть повторен сколько угодно раз. Пример 1. Экономический объект – рынок подержанных автомобилей. Опыт – продажа конкретного автомобиля. Комплекс условий: наличие автомобилей, покупателей и сделок купли продажи. Данные условия можно повторить много раз. Пример 2. Бросание игрального кубика. Опыт- бросок. Комплекс условий- наличие кубика и игроков. Пример 3. Объект- элементарная макромодель Кейнса: С=a 0 + a 1 Y + U С=a 0 + a 1 Y + U Y= C + I Y= C + I Опыт- функционирование экономики. Комплекс условий- наличие инвесторов и потребителей.

Понятие события Определение. Пусть имеется некоторый опыт. Событие, связанное с этим опытом, называется любой его исход. При этом событие называется случайным, если оно может появиться или не появиться в данном опыте. Обозначение: D: (описание события) Пример 1. Опыт-продажа подержанных автомобилей. Случайное событие- продажа 3-х летнего автомобиля за 0.5 цены. Это событие может появиться, а может и не появиться при повторении опыта. Пример 2. Опыт-бросание игрального кубика. События: A: (Выпадение четного числа) B: (Выпадение шестерки) B: (Выпадение шестерки)

Понятие вероятности появления события Мерилом возможности появления события A: в данном опыте служит вероятность появления этого события в опыте. Определение. Пусть А- случайное событие, связанное с некоторым опытом. Предположим, что опыт повторен n раз, в итоге событие А появилось в опытах n a раз. Тогда дробь n/n a называется относительной частотой появления события А в опытах, а вероятность P(A) появления события А определяется как предел этой дроби при многократном повторении опыта: (3.1)

Свойства вероятности события 1. Вероятность события приближенно равна относительной частоте появления события: P(A)n A /n 2. Из определения следует, что область определения P(A) – интервал (0, 1) 2. Из определения следует, что область определения P(A) – интервал (0, 1) Замечание. Иногда вероятность случайного события можно определить априори не прибегая к испытаниям. Например, опыт с игральным кубиком, вероятность появления любого числа из набора ( ) одинакова и равна 1/6.

Достоверное и невозможное события Определение. Пусть R событие, связанное с некоторым опытом, которое всегда появляется при его повторении, т.е P(R)1. Тогда событие R называется достоверным событием. Определение. Пусть I событие, связанное с некоторым опытом, которое никогда не появляется при его повторении, т.е P(I)0. Тогда событие I называется невозможным событием. Пример. Опыт - бросание игральной кости: выпадение любого числа из набора ( ) – событие достоверное выпадение числа 7 – событие невозможное

Практически достоверное событие Определение. Событие V, связанное с некоторым опытом, называется «практически достоверным», если вероятность его появления удовлетворяет условию: 0.95P(V)1 Любое случайное событие W, связанное с опытом, вероятность которого 0<P(W)0.05, называется «практически невозможным». Установлено, что практически достоверное событие, как правило, появляется при первом проведении опыта. Если этого не происходит, значит нарушены условия опыта.

Условная вероятность Определение. Пусть А и В два события, связанные с опытом, причем Р(А)>0. Проведено такое количество опытов N, при котором N a >0 (количество появлений события А). Пусть N ab количество опытов, в которых событие В появилось вместе с событием А. Отношение N ab /N a называют относительной частотой появления события В при условии появления события А. Условная вероятность появления события В есть: Свойства: P(A|B) N a /N ab 0 P(A|B) 1 (3.2)

Вероятность совместного события Разделив числитель и знаменатель (3.2) на N, получим: (3.3) где P(AB) – вероятность появления одновременно событий А и В в N опытах. где P(AB) – вероятность появления одновременно событий А и В в N опытах. Пример с кубиком. А:(четное число), В:(число 6). P(A)=1/2, P(B)=1/6. Тогда P(B|A)=(1/6)/(1/2)=1/3 Событие В совпадает с событием АB, след. P(AB)=P(B)=1/6. Отметим, Р(АВ)Р(В|А). Р(АВ) = Р(В|А) – условие независимости событий. Р(АВ) = Р(В|А) – условие независимости событий.

Теорема умножения вероятностей Теорема. Если события А 1, А 2,…, А n суть независимые события, то для них справедливо равенство: Р(А 1, А 2,…, А n )=Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) Р(А 1, А 2,…, А n )=Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) где: Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) – вероятности появления каждого события. где: Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) – вероятности появления каждого события. Пример. Бросание двух кубиков. Событие А:(появление 6 на кубе 1) Событие В:(появление 6 на кубе 2) Р(А)=1/6, Р(В)=1/6 Вероятность появление двух чисел 6 одновременно: Р(АВ)=Р(А)Р(В)=(1/6)(1/6)=1/36 Р(АВ)=Р(А)Р(В)=(1/6)(1/6)=1/36

Понятие переменная Определение. Пусть задано множество значений А х {t 1,t 2,…t n }. Тогда величина Х называется переменной, если она может принимать любые значения из множества А х, а множество А х называется областью допустимых значений или областью определения Х. Если А х состоит из набора значений, которые можно пронумеровать (счетное множество), то Х – дискретная переменная. Если А х представляет собой отрезок или интервал на числовой оси, то такая переменная называется непрерывной.

Дискретная случайная переменная Определение. Дискретная переменная Х с множеством допустимых значений А х называется случайной, если все ее возможные значения появляются в некотором опыте со случайными исходами А:(x=t) и если для нее задан закон распределения вероятностей. Первое свойство объединяет все случайные переменные Второе свойство – обеспечивает индивидуальность каждой случайной переменной.

Закон распределения дискретной случайной переменной Определение. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется функция P x (t), определенная на всей числовой оси, значения которой характеризуют вероятность появления в данном опыте события В:(x=t), и определяется по правилу: где: Р(х=t) вероятность события В:(x=t) где: Р(х=t) вероятность события В:(x=t) Закон распределения ДСП называют вероятностной функцией

Классические примеры дискретных случайных переменных Пример 1. Бросание кубика Ax={1,2,3,4,5,6} – область определения X- цифра на верхней грани (СДП) Закон распределения – Пример равновероятного закона распределения Графическое представление равновероятного закона распределения

Классические примеры дискретных случайных переменных Пример 2. Бросание одновременно двух кубиков X-сумма чисел на верхних гранях кубиков A x ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} - область определения Закон распределения Х имеет вид Каждый столбец - суть вероятность появления в опытах соответствующего значения переменной Х

Закон распределения непрерывной случайной переменной В случае, когда Х непрерывная случайная переменная, ее закон распределения вероятностей выражается с помощью функции плотности вероятностей, который по определению есть: где: P(txt+Δt) – вероятность того, что случайная переменная Х примет в опыте значение, лежащее в интервале (t, t+Δt) где: P(txt+Δt) – вероятность того, что случайная переменная Х примет в опыте значение, лежащее в интервале (t, t+Δt)

Свойства функции плотности вероятностей 1. Функция плотности вероятности неотрицательна p x (t)0 2. Вероятность попадания СВ х на отрезок [a, b] есть: 3. Функция распределения вероятностей связана с функцией плотности вероятностей выражением: 4. Справедливо равенство:

Примеры законов распределения непрерывных случайных переменных 1. Закон равномерного распределения Х на отрезке [a, b] ab 1/(b-a) pxpxpxpx График функции плотности вероятности – отрезок прямой параллельной оси Х внутри отрезка [a,b] и ноль вне его. Х

Примеры законов распределения непрерывных случайных переменных 2. Нормальный закон распределения Гаусса где a и s –параметры закона распределения. где a и s –параметры закона распределения. Именно, с помощью значений этих параметров удается персонифицировать различные случайные переменные, подчиняющиеся нормальному закону распределения.