Решение рациональных неравенств методом интервалов. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна

Найди ошибку. Легко убедится, что неравенство решено неверно: x = -2 является решением первоначального неравенства, но не удовлетворяет неравенству х >2. Свойства числовых неравенств позволяют нам умножать (делить) обе части неравенства на число, о котором точно известно, что оно строго больше нуля (знак неравенства не меняется) или строго меньше нуля (знак неравенства меняется на противоположный). Про х в данном случае таких данных мы не имеем. Один из способов решения рациональных неравенств (метод интервалов) основан на свойствах функций. Как решать?

b a Х У a b cd e На рисунке изображен график функции f(х). Определите промежутки знаки постоянства. Проанализируем, в каких точках может происходить смена знака функции. Х cde Точка разрыва Ноль функции Всегда ли в точках разрыва и нулях функции происходит смена знака? Точка разрыва Ноль функции

b a 4 Х У a b cd e Решение неравенств методом интервалов. Алгоритм. Х cd e Для решения неравенств вида можно воспользоваться схемой: 1) найти D(f) (точки разрыва – нули знаменателя); 2) найти нули функции (нули числителя); определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак; 3) на числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции и точки разрыва разбивают ее область 4) определить знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка или воспользовавшись правилом чередования знаков; 5) записать ответ. Назад

корень четной кратности Правило чередования знаков. (используется, если левая часть неравенства разложена на множители ) Правило чередования знаков значительно облегчает определение знаков функции на числовых промежутках. Основано на том что неотрицательный множитель не влияет на знак произведения. множитель нечетной степени корень нечетной кратности При переходе через корень нечетной кратности знак меняется. множитель четной степени При переходе через корень четной кратности знак не меняется. (неотрицательный) Таким образом достаточно подстановкой определить знак на любом промежутке и воспользоваться данным правилом. Назад

Пример: для функции определите при каких х 1) Нули знаменателя: 2) Нули числителя: 3) Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=100 - корень знаменателя четной кратности - корень знаменателя нечетной кратности - корень числителя нечетной кратности - корень числителя четной кратности 4) Далее воспользуемся правилом чередования знаков. а) f(x)>0, б) f(x)<0, в) f(x)0, г) f(x)0. 5)5) изображаются на числовой прямой всегда выколотыми точками изображаются точками в зависимости от знака неравенства Правило Алгоритм

Пример: для функции определите при каких х а) f(x)>0, б) f(x)<0, в) f(x)0, г) f(x)0. 5)5) а) f(x)>0 б) f(x)<0 в) f(x)0 г) f(x)0 Правило Алгоритм

Метод интервалов – это универсальный способ решения практически любых неравенств, которые встречаются в школьном курсе алгебры. Рассмотрим решение рациональных неравенств данным методом. Рациональным называется неравенство вида где Q(x) и P(x) – рациональные выражения

) Ответ: 1) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4) (знаменатель =1) Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

) Ответ: 2) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4) Ресурс для повторения «Разложение квадратного трехчлена на линейные множители»: Разложим левую часть на множители Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

) Ответ: 3) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4) Разложим левую часть на множители Замечание: в первых случаях мы легко обошлись без использования правила чередования знаков, но часто незнание этого правила приводит к громоздким и неудобным вычислениям. Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

5) Ответ: 4) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) Разложим левую часть на множители (все множители имеют нечетную (первую) степень => корней четной кратности нет) Как сравнить? Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 При решении следующих неравенств будем закреплять умение пользоваться правилом чередования знаков. Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

Назад Метод оценки выражений смотри по адресу:

Назад Метод оценки выражений смотри по адресу:

) Ответ: 5) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4) - корень четной кратности Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

5) Ответ: 6) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) Приведем неравенство к виду f(x)0 4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Разложим левую часть на множители - корень четной кратности При решении нестрогого неравенства нули числителя проверяем особо! Правило Алгоритм Удовлетворяет неравенству Тренировочные упражнения

5) Ответ: 7) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) Приведем неравенство к виду f(x)0 4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Разложим левую часть на множители Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

) Ответ: 8) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4) - корень четной кратности Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Разложим левую часть на множители Обрати внимание: сокращение дроби в данном случае не является равносильным преобразованием, так как изменяет ОДЗ. Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 5) Ответ: 9) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) Приведем неравенство к виду f(x)0 Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

5) Ответ: 10) 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) Приведем неравенство к виду f(x)0 4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Разложим левую часть на множители Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

Ответ: 11) Приведем неравенство к виду f(x)0 Левая часть не может принимать отрицательные значения => Упростим и разложим левую часть на множители Квадрат первого выражения плюс квадрат второго плюс удвоенное произведение первого на второе. решениями неравенства являются нули числителя. Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

12) Приведем неравенство к виду f(x)0 Упростим и разложим левую часть на множители 5) Ответ: 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Правило Алгоритм Учтем ОДЗ Тренировочные упражнения

13) Приведем неравенство к виду f(x)0 Решение данного неравенства «в лоб» приведет к появлению больших степеней. Используем следующий прием: 3 х = 5 х-2 х. Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

13) 5) Ответ: 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Правило Алгоритм Учтем ОДЗ Тренировочные упражнения

14) Приведем неравенство к виду f(x)0 Преобразуем левую часть 5) Ответ: 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х= корень четной кратности Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

15) Приведем неравенство к виду f(x)0 Преобразуем левую часть 5) Ответ: 1) Н. з.: 2) Н. ч.: 3) 4)Определим знак на любом промежутке. Например, на крайнем правом х=1000 Правило Алгоритм Тренировочные упражнения

Источники: М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич «Сборник задач по алгебре 8-9» КИМ ЕГЭ 2013 г.