Правильные многогранники

План изучения темы 1. Симметрия в пространстве, виды симметрии 2. Примеры симметрии в окружающем нас мире 3. Правильный многогранник, определение 4. Связь суммы числа граней и вершин с числом рёбер правильного многогранника 5. Виды и свойства правильных многогранников, их симметрия 6. Правильные многогранники в философской картине мира Платона

Симметрия относительно точки Симметрия относительно прямой А А1А1А1А1О Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе.А А1А1А1А1 a Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Симметрия относительно плоскости А Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе. А1А1А1А1О

Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии).О АЦентрсимметрииО А Плоскость симметрии О А a А1А1А1А1 Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Центр, ось, плоскость симметрии фигуры. А1А1А1А1 Осьсимметрии А1А1А1А1

С симметрией мы часто встречаемся в архитектуре.

Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют элементами симметрии ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника. Апатит Золото

Кальцит (двойник) Поваренная соль Лед

Альмандин Ставролит (двойник)

правильным, Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится равное число ребер. В каждом правильном многограннике сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2. грани вершины ребра Г + В = Р + 2

Правильный тетраэдр Правильный тетраэдр составлен их четырех равносторонних треугольников и в каждой вершине сходятся 3 ребра. 4 грани, 4 вершины и 6 ребер Правильный тетраэдр «тетра» - 4

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Осей симметрии – 3. Плоскостей симметрии – 6. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость, проходящая через ребро перпендикулярно к противоположному ребру, - ось симметрии. Элементы симметрии тетраэдра.

Куб Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. 6 граней, 8 вершин и 12 ребер «кекса» - 6 Куб, кексаэдр Куб имеет только один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей. Осей симметрии – 9. Элементы симметрии куба.

Куб имеет 9 плоскостей симметрии.

Правильный октаэдр Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. «окта» - 8 Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер Октаэдр

Правильный икосаэдр Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти правильных треугольников. «икоса» - 20 Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер Икосаэдр

Правильный додекаэдр Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных шестиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. «додека» - 12 Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Додекаэдр

Первым свойства правильных многогранников описал древнегреческий ученый Платон. Именно поэтому правильные многогранники называют также телами Платона. Платон 428 – 348 г. до н.э. Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

огонь воздух вода земля Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

вселенная Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.