Планиметрия Стереометрия Изучает свойства геометрических фигур на плоскости Изучает свойства фигур в пространстве В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» «гео» – по-гречески земля, «метро» – мерить Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стерео» объемный, пространственный, «метро» – мерить

Планиметрия Стереометрия Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Например, многогранники. Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Тела вращения. Шар, сфера, цилиндр, конус. Основные фигуры: точка, прямая Основные фигуры: точка, прямая, плоскость Другие фигуры: отрезок, луч, треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, выпуклые и невыпуклые n-угольники, круг, окружность, дуга и др.

Для обозначение точек используем прописные латинские буквы A DF Для обозначение прямых используем строчные латинские буквы f d h Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами. S N

Плоскости будем обозначать греческими буквами. На рисунках плоскости обозначаются в виде параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

A B C D Геометрические тела: Тетраэдр Параллелепипед

Геометрические понятия Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро

При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел пользуются их плоскими изображениями на чертеже. Изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Различные изображения конуса

Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. При проектировании этой машины важно было получить такую форму, чтобы при движении сопротивление воздуха было минимально.

Оперный театр в Сиднее Датский архитектор Йорн Утцон был вдохновлён видом парусов.

Эйфелева башня Париж, Марсово поле Инженер Гюстав Эйфель нашел необычную форму для своего проекта. Эйфелева башня весьма устройчива: сильный ветер отклоняет ее вершину всего лишь на см. В жару от неравномерного нагревания солнечными лучами она может отклониться на 18 см.

18000 железных деталей скрепляются заклёпками

Оригинальная идея для строительства башни была найдена архитекторами Л. Баталовым и Д. Бурдиным при участии конструктора Н. Никитина. Внутри цилиндрических бетонных блоков натянуты металлические тросы. Такая конструкция необычайно устойчива. Теоретическое отклонение вершины башни при максимальных расчетных скоростях ветра около 12 метров.

Аксиома (от греч. axíõma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только три. Через любые три точки, не лежащие на одной А 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Иллюстрация к аксиоме А 1 : стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. A B C

Иллюстрации к аксиоме А 1 из жизни. Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине. Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. Для видеокамеры, фотосъемки и для других приборов часто используют штатив – треногу. Три ножки штатива устойчиво расположатся на любом полу в помещениях, на асфальте или прямо на газоне на улице, на песке на пляже или в траве в лесу. Три ножки штатива всегда найдут плоскость.

О 1 А В прямых углов Построение прямых углов на местности с помощью простейшего прибора, экер который называется экер. Треножник Треножниксэкером.

a Если две точки прямой лежат в плоскости, то все А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. точки прямой лежат в этой плоскости. A B

Свойство, выраженное в аксиоме А 2, используется для проверки «ровности» чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Из аксиомы А 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.a N

a Если две плоскости имеют общую точку, то они А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Наглядной иллюстрацией аксиомы А 3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

А 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. C A B А 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. a A B a А 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиомы стереометрии описывают: А1. А2. А3. А В С Способ задания плоскости А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей

Способы задания плоскости 1. Плоскость можно провести через три точки. 2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку. Аксиома 1Теорема 1 Теорема 2 3. Можно провести через две пересекающиеся прямые. А1А1

Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. а а М а а а М а А2А2

Прочти чертеж A С

B c b a

Некоторые следствия из аксиом. Некоторые следствия из аксиом. Теорема Теорема Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. М a Q P

Некоторые следствия из аксиом. Некоторые следствия из аксиом. Теорема Теорема Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна Мa b N

Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите плоскости, в которых лежат прямые РЕМКDBABEC P E A B C D M K

Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDB. P E A B C D M K

Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите точки, лежащие в плоскостях АDB и DBC P E A B C D M K

Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите прямые по которым пересекаются плоскости АВС и DCB ABD и CDA PDC и ABC P E A B C D M K

P A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 R M K Q Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите точки, лежащие в плоскостях DCC 1 и BQC

P A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 R M K Q Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите плоскости, в которых лежит прямая АА 1

P A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 R M K Q Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите точки, пересечения прямой МК с плоскостью АВD

P A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 R M K Q Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите точки, пересечения прямых DK и ВС с плоскостью А 1 В 1 С 1

P A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 R M K Q Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости АА 1 В 1 и АСD

P A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 R M K Q Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости PВ 1 C 1 и ABC

K P A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 R M Q Тренировочные упражнения Тренировочные упражнения Назовите точки пересечения прямых МК и DC, В 1 С 1 и ВР С 1 М и DC

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB, в плоскости АВС; б) плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC, плоскости SAC и CAB. К А В М S N C

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE, прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC; плоскости FDE и SAC ; А С В S D F E

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; C1C1 C A1A1 B1B1 D1D1 A B D

А А1А1 В В1В1 С D1D1 D C1C1 а) В1СВ1С ?

А А1А1 В В1В1 С D1D1 D C1C1 В1СВ1С ?

Пользуясь данным рисунком, назовите: б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; C1C1 C A1A1 B1B1 D1D1 A B D

А А1А1 В В1В1 С D1D1 D C1C1 б)

Пользуясь данным рисунком, назовите: в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D

А А1А1 В В1В1 С D1D1 D C1C1 в)

Домашнее задание: 1)Выучить аксиомы и следствия из них. 2) П. 1-3 стр. 4 – 7. 3) 4; 6; 10.

Комментарий: 6. А В С 1 случай: точки лежат на одной прямой. А В С 2 случай: точки лежат в одной плоскости