Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом. 3.09

Геометрия Геометрия Планиметрия Планиметрия Стереометрия Стереометрия stereos телесный, твердый, объемный, пространственный

Стереометрия. -Р-Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.

A, B, C, … a, b, c, … или AВ, BС, CD, …

Геометрические тела: Куб. Параллелепипед. Тетраэдр.

Геометрические понятия. Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро

Аксиома (от греч. axíõma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

АКСИОМЫ планиметрия стереометрия С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. С с

АКСИОМЫ планиметрия стереометрия Система аксиом стереометрии. I1: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. I2: Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. II: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. III: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой. IV: Прямая принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. V: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180º. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. VI: На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. VII: От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180º, и только один. VIII: Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости. IX: На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. С1: Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. С2: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С3: Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Способы задания плоскости 1. Плоскость можно провести через три точки. 2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку. Т 6.2 Т 6.1 С3С3 3. Можно провести через две пересекающиеся прямые. А1А1

Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. а а М а а а М а А2А2

Следствия из аксиом стереометрии. Следствие Чертежформулировка 1 ( Т ) 2 ( Т ) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Прочти чертеж A С

Прочти чертеж B c b a

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB, в плоскости АВС; б) плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC, плоскости SAC и CAB. К А В М S N C

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE, прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB; прямая AC. А С В S D F E

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; C1C1 C A1A1 B1B1 D1D1 A B D

А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 а) В1СВ1С ?

А А1А1 В В1В1 С D1D1 D C1C1 В1СВ1С ?

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; C1C1 C A1A1 B1B1 D1D1 A B D

А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 б)

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D

А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 в)

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D

Закрепление изученного материала. 1; 2 (б,д);

Домашнее задание: 1)Выучить аксиомы и следствия из них. Задания 4 – 12 в рабочей тетради. 2) П. 1-3 стр. 4 – 7. 3) 4; 6; 10. Успехов!

Комментарий: 6. А В С 1 случай: точки лежат на одной прямой. А В С 2 случай: точки лежат в одной плоскости