Проект по стереометрии « Задачи на построение сечений». Выполнили:: ученики 11 «А» класса МБОУ СОШ 4 Азарченков Сергей и Михайлицкий Андрей Руководитель: Чеснокова Светлана Николаевна Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение СОШ 4 г. Салехард, 2014 г.

1. Цель и задачи проекта 2.Многогранники. Виды многогранников. 3. Сечения многогранников. 4. Задачи на построение сечений. 5. Выводы 6. Используемые источники информации

* Ознакомиться с удивительным миром сечений и многогранников Задачи проекта: 1) Изучить: -что такое многогранники -виды многогранников -сечения многогранников 2) Выполнить построение сечений многогранников.

Построение сечений многогранников широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроение и во многих других областях науки и техники. Умение строить сечения поможет нам развить пространственное мышление, что во многом поможет в дальнейшей жизни.

* Многогранники. * Виды многогранников * Сечения * Виды сечений

* Многогранником или полиэдром обычно является замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда также называют тело, ограниченное этой поверхностью. * Трёхмерный многогранник совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона ( до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются Платоновыми телами. Правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны. Существует всего 5 видов правильных многогранников: * Куб (гексаэдр) * Тетраэдр * Октаэдр * Икосаэдр * Додекаэдр

Кубооктаэдр Икосододекаэдр Усеченный тетраэдр Усечённый куб Усечённый октаэдр Усечённый додекаэдр Ромбокубооктаэдр Ромбоусечённый куб октаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбоусечённый икосододекаэдр Курносый куб Курносый додекаэдр

* Секущей плоскостью многогранника называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данного многогранника. * Сечением многогранника называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для многогранника и секущей плоскости. Сечения. Основные понятия Рис.1 Рис.2

* Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому сечение многогранника есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости. Очевидно, что количество сторон этого многоугольника не может превышать количества граней данного многогранника. Например, в сечении пятиугольной призмы могут получиться: треугольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник или 7-угольник.

Плоскость сечения может задаваться : * 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; * 2) прямой и точкой, не лежащей на ней; * 3) двумя пересекающимися прямыми; * 4) двумя параллельными прямыми. Все эти случаи можно свести к первому, выбирая на прямых удобные для нас точки.

Если секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки параллельны.

Две плоскости пересекаются по прямой (эта аксиома и дала названию метода – под «следом» понимается прямая пересечения какой-либо грани многогранника и секущей плоскости). Получение «следа» сводится к получению двух точек, принадлежащих одновременно какой-нибудь грани многогранника и секущей плоскости. Точки получаются как пересечение двух прямых, принадлежащих одной и той же плоскости. Проследим на примере построение сечения куба плоскостью, заданной тремя данными точками M, N и K. Остановимся более подробно на методе «следов»

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K Выбираем точки М и N, принадлежащие одной грани и строим прямую MN – «след» пересечения правой грани и секущей плоскости. A1A1 ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E Теперь обращаем внимание, что ребро куба В 1 С 1 лежит в одной грани с третьей точкой сечения К (верхней) и в одной грани с появившейся прямой MN (правой). Находим точку пересечения этих прямых – точку Е. ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E Точки Е и К принадлежат верхней грани и секущей плоскости. Значит, прямая ЕК – «след» их пересечения и F D 1 C 1, EK. F ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F Далее видим, что ребро куба А 1 В 1 лежит в одной грани с появившимся следом ЕК (верхней). Находим точку пересечения этих прямых – точку G. G ПРИМЕР 1.

A B C D B1B1 C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F G Полученная точка G лежит в одной грани с точкой М (в передней) и обе точки принадлежат секущей плоскости – значит, прямая GM – очередной «след»! Причем, GMАА 1 =Н. H ПРИМЕР 1.

A B C D C1C1 D1D1 M N K A1A1 E F G H Остается соединить отрезками все пары точек, лежащие в секущей плоскости и в одной грани куба. Полученный пятиугольник MNFKH – искомое сечение куба. B1B1 ПРИМЕР 1.

Построение: 1) MN 2) NK 3) MP ||NK 4) KH ||MN 5) PH 6) MNKHP- искомое сечение A B D C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 N K M P H ПРИМЕР 2.

Построение: 1) MN, NK 2) MN AD=X 3) XY ||NK 4) XY AB=P 5) XY BC=Q 6) MP,PQ 7) QH ||MN 8) KH 9) MNKHQP- искомое сечение A B D C A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 N K M P H X Y Q ПРИМЕР 3.

Данный метод построения сечений многогранников можно применять, если найдется хотя бы одна пара точек, лежащих в секущей плоскости и одной грани многогранника. После чего задача циклично алгоритмизируется в получение очередной точки и очередного «следа».

* Выполнив проект, мы расширили свой кругозор по теме: «Многогранники. Сечения многогранников», закрепили знания, полученные в 10-м классе по этой теме.

1.Геометрия. 10 – 11. Учебник для общеобразовательных учреждений/ / Л.С. Атанасян и др.- М.: Просвещение, http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/201 3/11/08/mnogogranniki-proekthttp://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/201 3/11/08/mnogogranniki-proekt 5http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=51190http://uztest.ru/abstracts/?idabstract= http://festival.1september.ru/articles/212754/ Используемые источники: