Теория вероятностей и комбинаторные правила для решение задачи ЕГЭ В10

2 Классическое определение вероятности Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями. Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие). Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Пример: В мешке лежат три картофелины. Опыт – изъятие овоща из мешка. Достоверное событие – изъятие картофелины. Невозможное событие – изъятие кабачка.

3 Классическое определение вероятности Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Примеры: 1) Опыт - выбрасывается монета. Выпадение орла и выпадение решки – равновозможные события. 2) В урне лежат три шара. Два белых и синий. Опыт – извлечение шара. События – извлекли синий шар и извлекли белый шар - не равно возможны. Появление белого шара имеет больше шансов..

4 Классическое определение вероятности Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других. Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - несовместны. 2) В результате двух выбрасываний выпадает орел (событие А) или решка (событие В). События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй

5 Классическое определение вероятности Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу. События образующие полную группу называют элементарными.

6 Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу. P(A) = m/n Классическое определение вероятности

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады Благоприятное событие А: первой выступает спортсменка из Канады К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству гимнасток из Канады. m=50-(24+13)=13 Соответствует количеству всех гимнасток. n=50

8 В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение. Элементарное событие – спортсменка, выступающая первой. Поэтому N=20. Чтобы найти число элементарных событий, благоприятствующих событию А={первой выступает спортсменка из Китая}, нужно подсчитать число спортсменок из Китая: N(A)=20-(8+7)=5. Все элементарные события равновозможны по условию задачи, поэтому P(A)= Ответ: 0,25.

9 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Решение. Элементарное событие – выступление шестым прыгуна из Парагвая. Этому благоприятствуют 9 исходов (столько, сколько прыгунов из Парагвая). Поэтому N(A)=9. Всего прыгунов 25, т.е. N=25. Тогда P(A)= Ответ: 0,36.

10 Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение. Руслан может встретиться с 25 спортсменами, т.е. N=25. Элементарное событие – выступление спортсмена из России с Русланом Очировым в первый день. Этому благоприятствуют 9 исходов. Поэтому N(A)=9. Тогда P(A)= 9/25=0,36 Ответ: 0,36

11 Элементарные события (элементарные исходы) опыта простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Объединение событий событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А, В. Пересечение событий событие, состоящие из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. Противоположное событие. Событие,состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в А, называется противоположным событию А. Несовместные события события, которые не наступают в одном опыте. Например, противоположные события несовместны. Вероятности противоположных событий: Формула сложения вероятностей: Формула сложения вероятностей для несовместных событий:

12 Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. Решение. Определим событие А = {выбранная ручка пишет хорошо}. Тогда противоположное событие ={выбранная ручка пишет плохо}. Из условия нам известна вероятность противоположного события: Используем формулу вероятности противоположного события: Ответ: 0,9.

13 На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Определим события: А = {вопрос на тему «Вписанная окружность»}, В = {вопрос на тему «Параллелограмм»}. События А и В несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно. Событие С = {вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением:. Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий: Ответ: 0,35

14 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Определим события А = {кофе закончится в первом автомате}, В = {кофе закончится во втором автомате}. По условию задачи и. По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события А и В = {кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}: Следовательно, вероятность противоположного события {кофе останется в обоих автоматах} равна Ответ: 0,52.

15 В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов. Найдем вероятность противоположного события = {оба автомата неисправны}. Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий: Значит, вероятность события А= {хотя бы один автомат исправен} равна Ответ: 0,9975

16 Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G. Решение. Схема дорожек представляет собой граф, а именно дерево. Рёбра (ветви) дерева соответствуют дорожкам. Около каждого ребра напишем вероятность того, что Павел Иванович пройдет по соответствующей дорожке. Выбор пути на каждой развилке происходит наудачу, поэтому вероятность поровну делится между всеми возможностями. Предположим, что Павел Иванович пришел в вершину C. Из неё выходит три ребра CH, CK и CL. Следовательно, вероятность того, что Павел Иванович выберет ребро CH, равна. Аналогично можно расставить все вероятности.

17 Каждый маршрут из начальной точки A в любую из конечных точек является элементарным событием в этом эксперименте. События здесь не равновозможные. Вероятность каждого элементарного события можно найти по правилу умножения. Нам нужно найти вероятность элементарного события G= {Павел Иванович пришел в точку G}. Это событие состоит в том, что Павел Иванович прошел маршрутом ABG. Вероятность находится умножением вероятностей вдоль ребер AB и BG:

18 Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие в поле F или в болото M. Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото. Решение. В болото ведут три маршрута. Обозначим вершины на этих маршрутах и напишем на ребрах вдоль этих маршрутов соответствующие вероятности. Остальные маршруты не будем рассматривать.

19 Вероятность события {Павел Иванович попадет в болото}, равна. Ответ:

20 Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки, а вторая остальные телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой, 1% имеют скрытые дефекты, а у выпускаемых второй фабрикой 1,5%. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект. Решение. Введем обозначения для событий: = {телефон выпущен на первой фабрике}, = {телефон выпущен на второй фабрике}, D = {телефон имеет скрытый дефект}. По условию задачи составим дерево и найдём необходимые вероятности..

21 В некотором эксперименте вероятность события А равна 0,3. Если событие А наступает, то вероятность события С равна 0, 2, а в противоположном случае вероятность события С равна 0,4. Найдите вероятность события С. Решение. В таких задачах удобно изобразить эксперимент графически деревом вероятностей. Отличие от предыдущих задач состоит в том, что вероятности на ребрах получаются не из равновозможности, а иначе. Весь эксперимент обозначим буквой Ω (большая омега) и поставим точку около этой буквы корень дерева, из которого ветви-ребра растут вниз. Из точки Ω проведем ребро вниз-влево в точку А. Событие А имеет вероятность 0,3, поэтому подпишем у этого ребра вероятность 0,3. Противоположное событие А имеет вероятность 0,7. Проведем второе ребро в точку А. Если осуществилось событие А, то событие С по условию имеет вероятность 0, 2. Поэтому из точки А проведем ребро вниз-влево в точку С и подпишем вероятность. Действуя так же и дальше, достроим все дерево (см. рис.).

22 Чтобы найти вероятность события С, нужно выделить только те пути, которые ведут из корневой точки Ω к событию С. На рисунке эти пути яркие, а пути, не приводящие к С изображены бледно. Выделенные пути ΩАС и являются элементарными событиями, благоприятствующими событию С. Теперь нужно вычислить вероятности выделенных путей и сложить их. Пользуясь правилами умножения и сложения вероятностей, получаем: Ответ: 0,34

23

24 Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики. Задача 1: Сколько двузначных чисел можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? В данном случае легко перебрать все комбинации вариантов

25 Задача 2: Сколько пятизначных можно составить используя цифры 7; 8; 9 (цифры могут повторяться)? Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен. Решим задачу иначе. На первом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На втором месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На третьем месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На четвертом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. На пятом месте может стоять любая из трех цифр – 3 варианта. Комбинаторное правило умножения

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает Благоприятное событие А: выбранный насос не подтекает. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству исправных насосов m= =1386 Соответствует количеству всех насосов. n=1400

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых Благоприятное событие А: купленная сумка оказалась качественной. К-во благоприятных событий: m=? К-во всех событий группы: n=? Соответствует количеству качественных сумок. m=190 Соответствует количеству всех сумок. n=190+8

28 В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Решение. Элементарным исходом в этом опыте является упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе на втором. В таких задачах множество элементарных исходов удобно представить в виде таблицы. В первой строке этой таблицы записываем возможный результат первого броска, а в первом столбце - возможный результат второго броска. Количество элементарных исходов.

29 Напишем в каждой клетке таблицы элементарные исходы и закрасим клетки, где сумма равна 8 (см. рис.). Таких клеток будет пять. Значит, событию А = {сумма равна 8} благоприятствуют 5 элементарных исходов, а, следовательно,. Поэтому вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, можно найти по формуле Ответ: (1;1)(2;1)(3;1)(4;1)(5;1)(6;1) 2(1;2)(2;2)(3;2)(4;2)(5;2)(6;2) 3(1;3)(2;3)(3;3)(4;3)(5;3)(6;3) 4(1;4)(2;4)(3;4)(4;4)(5;4)(6;4) 5(1;5)(2;5)(3;5)(4;5)(5;5)(6;5) 6(1;6)(2;6)(3;6)(4;6)(5;6)(6;6)

30 Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4? Решение. В этой задаче случайным экспериментом является бросание кубика. Элементарным исходом является число на выпавшей грани. Граней всего шесть. Можно перечислить все элементарные исходы: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Следовательно,. Событию А = {выпало больше чем 4} благоприятствуют два элементарных исхода: 5 и 6. Поэтому. Все элементарные события равно возможны. Поэтому Ответ:.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых Опыт: выпадают три игральне кости. Благоприятное событие А: в сумме выпало 7 очков. К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? 1-я кость - 6 вариантов 2-я кость - 6 вариантов 3-я кость - 6 вариантов

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Условие можно трактовать так: какова вероятность того, что все четыре раза выпадет решка? К-во благоприятных событий m=? К-во всех событий группы n=? m=1 Четыре раза выпала решка. 1-й раз - 2 варианта 2-й раз - 2 варианта 3-й раз - 2 варианта 4-й раз - 2 варианта

33 Спасибо за внимание