специальные вопросы ТВиМС часть 2 предельные и условные распределения лекция вторая

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пусть задано вероятностное пространство { ; ; } Def ОДНОМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА (С.В.) - ИЗМЕРИМАЯ ФУНКЦИЯ : Def МНОГОМЕРНАЯ С.В. (СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР) – ВЕКТОР, КАЖДАЯ КОМПОНЕНТА КОТОРОГО – ОДНОМЕРНАЯ С.В. : =( 1 ;...; n ): n Говоря о случайной величине будем подразумевать и элементарные события из, и их образы в n Любая функция от с.в. – тоже с.в.: : n => g( ) : n

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Примеры: 1. Располагаемый доход индивида – одномерная с.в. 2.(ВВП; валютный курс) – двумерная с.в. 3. Социологический опросник – многомерная с.в. 4. Безработица в странах ОЭСР – многомерная с.в.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайные величины: дискретные (множество значений – н.б.ч.с.) абсолютно непрерывные (множество значений – континуум) дискретно-непрерывные (смешанные) Найдите определение и приведите пример смешанной с.в.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ с.в. Для задания с.в. необходимо указать распределение с.в (закон распределения вероятностей) – способ вычисления вероятностей событий. Каждая с.в. индуцирует вероятностное пространство на n : { ; ; } { n ; ; P }: P (B)= ( -1 (B)) B { ; ; } g( ) { n ; ; P g( ) }: P g( ) (B)= (g -1 ( -1 (B))) B Распределение с.в. может быть задано Таблицей Формулой Функцией распределения Характеристической функцией (Найдите определение и примеры)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ с.в. Примеры: 1. Таблица для дискретной двумерной с.в.: =( 1 ; 2 ) 3 4 ξ y1y2y3y4 x10,060,030,010,00 x20,050,250,350,05 x30,010,020,070,10 2. Формула для пуассоновской двумерной с.в. P (( 1 ; 2 )=(k 1 ; k 2 ))= k1+k2 e - /(k 1 +k 2 )! Представьте эти с.в., как одномерные

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в. Def Функция распределения одномерной с.в. – ф.р. (c.d.f – cumulative distribution function): F (x)= P( x) x

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в. Свойства одномерной ф.р.: 1.P( [x 1 ;x 2 ])=F (x 2 )-F (x 1 ) 2.P( )=F (+ )-F (- )=1 Необходимые и достаточные условия для одномерной c.d.f.: 1. limF (x)=0 при x - ; 2. limF (x)=1 при x + 3. limF (x 0 ) x 0 x x - 4. F (x)

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в. Пример: Логиста - ф.р. одномерной с.в., распределенной по логистическому закону F (x)=1/(1+e -x ) x Все свойства выполнены: 1. limF (x)=0 при x - ; 2. limF (x)=1 при x + 3. F (x) непрерывна 4. F (x) Проверьте!

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в. Def Функция распределения многомерной с.в. (совместная ф.р., c.d.f – cumulative distribution function): F (x)=F ( 1 ;…; n ) (x 1 ;...;x n ) = P( x)=P( i x i i) x n Пример: функция распределения экономических показателей регионов РФ

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в. Необходимые и достаточные условия для многомерной c.d.f.: 1. F (x 1 ;...;x n ) [0;1] x n 2. limF (x 1 ;...; x i ;...;x n )=0 x n i при x i - 3. limF (x)=F (x 1 ;...; + ;...;x n ) i при x i + 4. limF (x)=1 при x + 5. limF (x 0 ) x 0 n при x x 0 - по любому направлению 6. F (x) по любой компоненте

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в. Пример: 1. Функция распределения двумерной равномерно распределенной с.в. F (x)=F ( 1 ; 2 ) (x 1 ; x 2 )=x 1 x 2 x [0;1] 2 Все свойства выполнены: 1. F (x 1 ; x 2 ) [0;1] 2. limF (x 1 ; - )=0 при x F 1 (x 1 )=limF (x)=x 1 при x limF (x 0 ) x 0 n при x x 0 - по любому направлению 5. F (x)=x 1 x 2 по любой компоненте Проверьте!

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ с.в. Пример: 1. Функция распределения двумерной равномерно распределенной с.в. F (x)=F ( 1 ; 2 ) (x 1 ; x 2 )=x 1 x 2 x [0;1] 2 (параболический гиперболоид)

ПЛОТНОСТЬ ф.р. с.в Def ξ- абсолютно-непрерывная одномерная с.в., если и только если ее ф.р., такая что:

ПЛОТНОСТЬ ф.р. с.в Примеры: 1.ξ- распределена по стенд. логистическому закону 2. - распределена по стенд. нормальному закону

ПЛОТНОСТЬ ф.р. с.в Def ξ- абсолютно-непрерывная многомерная с.в., если и только если ее ф.р., такая что:

ПЛОТНОСТЬ ф.р. с.в Примеры: 1.ξ- распределена равномерно на [0;1] распределена по двумерному нормальному закону (проверьте, что это плотность!)

ПЛОТНОСТЬ ф.р. с.в Упражнения 1.ξ- одномерная с.в., распределенная на [0;1] Найти параметр с, при котором f (x)=cx 2 будет плотностью некоторой ф.р., найти эту ф.р. 2.Доказать, что F(x)=1/[(1+e -x )(1+e -y )] – ф.р. некоторой двумерной с.в., распределенной на 2, найти ее плотность

ПРЕДЕЛЬНОЕ (МАРГИНАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ с.в. Def Маргинальное распределение многомерной с.в.- распределение выделенных компонент с.в: =( 1 ; 2 ) распределена на n 1 +n 2 1 – маргинальное распределение на n 1 Пример: =( 1 ; 2 ) описывает распределение жителей РФ по социально-экономическим показателям переписи населения 1 описывает распределение жителей РФ только по социальным показателям (без учета экономических)

ПРЕДЕЛЬНЫЕ c.d.f и d.d.f. с.в. Def Маргинальная ф.р. многомерной с.в.- совместная ф.р. выделенных компонент с.в.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ c.d.f и d.d.f. с.в. Def Маргинальная ф.р. многомерной с.в.- совместная ф.р. выделенных компонент с.в.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ c.d.f и d.d.f. с.в. Примеры: 1. =(X; Y) 3 4 y1y2y3y4X x10,060,030, x20,050,250,350,050.7 x30,010,020,070,10.2 Y

ПРЕДЕЛЬНЫЕ c.d.f и d.d.f. с.в. Примеры: 2.ξ- распределена равномерно на [0;1] 2 : F ξ (x)=x 1 x 2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ c.d.f и d.d.f. с.в. Примеры: 3.ξ=(ξ x ;ξ y ) - распределена нормально на 2 Предельные распределения – так же нормальны! Предельная плотность- проекция совместной плотности Проделать вычисления!

НЕЗАВИСИМЫЕ с.в. Def Независимые с.в. - это те, для которых вероятность любого совместного события равна произведению вероятностей отдельных событий P( 1 B 1 ; 2 B 2 )=P( 1 B 1 ) P( 2 B 2 ) Примеры: 1. Профессия и семейное положение - независимы 2. Доход и образование - зависимы

НЕЗАВИСИМЫЕ с.в. Примеры: 1. Дискретные с.в.: y1y2y3y4X x10,060,030, x20,050,250,350,050.7 x30,010,020,070,100.2 Y y1y2y3y4X x10,0120,0300, x20,0840,2100,3010, x30,0240,0600,0860, Y зависимые с.в. независимые с.в.

НЕЗАВИСИМЫЕ с.в. Примеры: 2. непрерывные с.в.: зависимые с.в. независимые с.в.

НЕЗАВИСИМЫЕ с.в. Независимые с.в.- это те, у которых совместные ф.р. сепарабельны (как c.d.f., так и d.d.f.)

НЕЗАВИСИМЫЕ с.в. Независимые с.в.- это те, у которых совместные ф.р. сепарабельны (как c.d.f., так и d.d.f.)

НЕЗАВИСИМЫЕ с.в. Примеры: 1.ξ - равномерно распределенная с.в. на [0;1] 2 с независимыми компонентами: F (x)=F ( 1 ; 2 ) (x 1 ; x 2 )=x 1 x 2 =F 1 (x 1 ) F 2 (x 2 ) f (x)=f ( 1 ; 2 ) (x 1 ; x 2 )=1=1 1=f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 )

НЕЗАВИСИМЫЕ с.в. Примеры: 2.ξ- распределена нормально на 2 Компоненты независимы тогда и только тогда, когда некоррелированный

УСЛОВНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Def Условное распределение многомерной с.в. – это распределение с.в., при некоторых наложенных ограничениях на значения ее компонент Пример: Совместное распределение финансово - экономических показателей деятельности компании, при условии, что все они находятся в норме

УСЛОВНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Распределение отдельных компонент многомерной с.в. при некоторых наложенных ограничениях на значения остальных компонент - тоже является условным Пример: Совместное распределение экономических показателей регионов РФ, при условии, что социальные показатели находятся в норме

УСЛОВНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В основе понятия условного распределения лежит понятие условной вероятности Пример: Дискретная двумерная с.в. =(X; Y) 3 4 y1y2y3y4X x10,060,030, x20,050,250,350,050.7 x30,010,020,070,100.2 Y y1y3X x16/151/157/15 x31/157/158/15 Y7/158/15 1

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Условное распределение ξ=(ξ 1 ;ξ 2 ) при условии ξ B

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Пример: ξ ~ U[0;1] 2, при условии ξ 1 <ξ 2

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Условное распределение ξ=(ξ 1 ;ξ 2 ) при условии ξ 2 =y

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Условное распределение ξ=(ξ 1 ;ξ 2 ) при условии ξ 2 Δy

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Пример: Условное распределение нормальной с.в. ξ=(ξ x ;ξ y ), распределенной на 2, при условии ξ y =y Проверьте!

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Пример: Условное распределение нормальной с.в. ξ=(ξ x ;ξ y ), распределенной на 2, при условии ξ y =y Заметьте, что дисперсия условного распределения одной компоненты не зависит от второй компоненты: свойство гомоскедастичности нормального закона!!!

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Пример:

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Пример:

УСЛОВНОВНЫЕ c.d.f. и d.d.f. Пример:

КОНЕЦ ЛЕКЦИИ