К о н у с. Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Объем.

1. ППонятие конуса. 2. ППлощадь поверхности конуса. 3.ООбъем.

Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими конической поверхности. r О Р a

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется

Р О r В А Ось конуса Образующие конуса Боковая поверхность Основание

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ А СС1С1 С2С2 В Рисунок 1

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение называется осевым. А С в АСВ – осевое сечение конуса Рисунок 2

Боковую поверхность конуса можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания конуса. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развертки.

Выразим площадь S бок боковой поверхности конуса через его образующую L и радиус основания r. Площадь кругового сектора – развертки боковой поверхности конуса.(рисунок 3) – равна (πL 2 / 360)*α, где α – градусная мера дуги АВА 1 поэтому S бок = (πL 2 / 360)*α (1) Выразим α через L и r. Так как длина дуги АВА 1 равна 2πr (длине окружности основания конуса), то 2πr = (πL / 180)* α, откуда α = (360 r / L). Подставив это выражение в формулу (1), получим S бок = πrL (2)

Таким образом, Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади S кон полной поверхности получается формула: S кон = π * r * (L + r)

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Рассмотрим конус с объемом V, радиуса основания R, высотой H и вершиной в точке О. Введем ось Ох так, как показано на рисунке 4. Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М 1 пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R 1, а площадь сечения через S(х), где х - абсцисса точки М 1. Из подобия прямоугольных треугольников ОМ 1 А 1 и ОМА следует, что (ОМ1/ОМ) = (R1/R), или (х/h)= (R1/R), откуда R1 = (хR/h).

Так как S (х) = π R 2 1, то S (х) = ( ( π R 2 ) / h 2 ) * х 2 Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h, получаем: V= h 0 ( ( π R 2 ) / h 2 ) * х 2 dx = ( ( π R 2 ) / h 2 ) h 0 х 2 dx = = ( ( π R 2 ) / h 2 ) *( х 3 / 3 ) | h 0 = (1/3) π R 2 h Площадь S основания конуса равна R 2, поэтому V= (1/3) Sh.

Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площадь оснований равны S и S 1, вычисляется по формуле: V = (1/3) * h * (S + S 1 + S * S 1 ) В начало

h О х х М R А М1М1 А1А1 R1R1 Назад

Р А В Рисунок 3 Р В А А1А1 Назад