Создатель проекта: Желяева Мария МБОУ СОШ Зерноградский район

МОЯ ЦЕЛЬ РАБОТЫ Разобраться с понятием конуса и его компонентах. В каких учебных дисциплинах необходимы знанее данной темы.

Составляющие проекта Реферат Презентация

ПОНЯТИЕ КОНУСА К онус-это тело, ограниченное поверхность вращения равнобедренного треугольника вокруг его симметрии. Поверхность конуса состоит из круга (основания)и боковой поверхности. Вершину конуса можно соединить с любой точкой окружности основания образующей- отрезком, лежащей на боковой поверхности.

ВЫСОТА КОНУСА Высота конуса расстоянее от вершины до основания. Сеченее боковой поверх­ности плоскостью, параллельной основанию, окружность.

Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета. Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом. Начертеже показан конус, образованный вследствие вращения прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанеем конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже 3 отрезки PA, PB, PM, PN – образующие конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса. Прямой круговой конус

Разверткой боковой поверхности конуса (рис. 3) является круговой сектор. Обозначим через Sб и Sп соответственно площади боковой и полной поверхности конуса: где φ – угол при вершине развертки. Далее заметим, что PA · φ = 2πR. Следовательно, где R – радиус, а l – образующая конуса. Sп = πRl + πR2 = πR(l + R).

Усеченный конус Усеченный конус. Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом Основанее исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно) Усеченный конус получен вращенеем прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны СD

Площадь поверхности конуса. Боковую поверхность кону­са, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на ^плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 2, а,б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор -(см. рис. 2,6), радиус которого равен образующей конуса, а дли­нна дуги сектора длине окружности основания конуса' За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбок.- боковой поверхности конуса через его образующую и радиус основания. Площадь кругового (сектора развертки боковой поверхности конуса (рис. 2,6) равна - α, где α-градусная мера дуги АВА', поэтому' Выразим а через πr. Так как длина дуги АВА' равна 2πr.,(длине окружности основания конуса), то Площадь поверхности '

Откуда Подставив это выраженее в формулу (1), получим Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления полной поверхности конуса получается формула

Осевым сеченеем конуса Осевым сеченеем конуса называется сеченее конуса плоскостью, проходящей через его высоту. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса.

Коничешское сеченее Кони́чешское сече́нее или коника есть пересеченее плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых, а также окружность, которую можно рассматривать как частный случай эллипса.плоскости конусом эллипспараболагиперболаточкапрямаяокружность Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сеченее. В невырожденном случае, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс, если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу и если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу. Уравненее кругового конуса квадратично, стало быть все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику которая не может быть получена как сеченее конуса, но всё же обычно считается «вырожденным коническим сеченеем»).квадриками

Свойства Через любые пять точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно провести единственное коничешское сеченее. История Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции. Наиболее полным сочиненеем, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 до н. э.). Аполлония Пергского

Теорема Теорема.Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую по­верхность по окружности с центром на оси конуса. Доказательство. Пусть плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус Преобразованее гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость Р с плоскостью основания, совмещает сеченее конуса плоскостью с основанеем конуса. Следовательно, сеченее конуса плоскостью есть круг, а сеченее боковой поверхности окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.

СЕЧЕНИЯ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ Сеченее конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса. В частности, равнобедренным треугольником является осевое сеченее конуса. Это сеченее, которое проходит через ось конуса (рис.4)

КОНУС В НАШЕЙ ЖИЗНИ наука; техника; быт человека; культура; образованее;

ВЫВОД при работе над этим проектом я узнала много нового о теле конус и его свойствах; я стала чаще обращать вниманее на окружающие предметы и их вид; я обнаружила, что различные геометрические тела, в том числе и конус, используются в архитектуре, науке, технике, образованее, а также встречаются в природе; я на практике использовала знания полученные на уроках геометрии, информатике, истории; я убедилась, что люди, жившие на Земле до нас, действительно занимались вопросом геометрических тел;

ЛИТЕРАТУРА Справочник по элементарной математике М.Я.Выгодский Геометрия Л.С.Атанасян Большой справочник школьника 5-11 Большая школьная энциклопедия Геометрия А.В.Погорелов