Подготовка к олимпиаде школьников 9 класс Презентацию подготовила учитель математики МБОУ «Федоровская СОШ 2 с углублённым изучением отдельных предметов» Вдовенко Ирина Викентьевна

Олимпиада по математике для 9 класса в 9-11 последовательно добавляются задачи на свойства линейных и квадратичных функций, задачи по теории чисел, неравенства, задачи, использующие тригонометрию, стереометрию, математический анализ, комбинаторику.

1. Числа от 1 до 20 разбили на пары, и числа в каждой паре сложили. Какое наибольшее количество из этих 10 сумм может делиться на 11? Ответ. 9.

Решение. Если бы все 10 пар чисел давали суммы, делящиеся на 11, то и сумма всех этих сумм, то есть сумма всех 20 чисел, делилась бы на 11. Однако число = 210 не делится на 11. Значит, таких пар не больше 9.

2. Приведённый квадратный трёхчлен f (x) = x 2 + ax + b имеет два корня. Докажите, что если прибавить к коэффициенту a любой из этих корней, а из коэффициента b вычесть квадрат этого же корня, то полученное уравнение также будет иметь корень.

3. На доске написаны четыре ненулевых числа, причём сумма любых трёх из них меньше четвёртого числа. Какое наименьшее количество отрицательных чисел может быть написано на доске? Ответ. Три.

Решение. Пусть a b c d - данные числа. Из условия следует, что b + c + d < a. Но a b, значит, b + c+d < a b, откуда следует, что c + d 0. Значит, по крайней мере одно из двух самых больших чисел, написанных на доске, отрицательно. Следовательно, отрицательных чисел не меньше трёх. Пример чисел -5, -4, -3, 1 показывает, что одно из чисел может быть положительным.

4. На основании AD равнобокой трапеции ABCD выбрана точка K. Прямые BK и CK пересекают вторично окружность, описанную около трапеции ABCD, в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника KMN, касается прямой AD.

Решение. Утверждение задачи равносильно тому, что угол между лучом KA и хордой KN измеряется половиной заключенной между ними дуги KN окружности, описанной около треугольника KMN, то есть равняется вписанному углу KMN (см. рис.). Но этот угол есть угол BMN, равный углу BCN, поскольку они вписаны в окружность, описанную около трапеции, и опираются на одну её дугу BN. Наконец, равенство

5. Имеется таблица 11 х 11, из которой вырезана центральная клетка. Двое играют в следующую игру. Они по очереди ставят в пустые клетки этой таблицы крестики и нолики: первый игрок за ход ставит один крестик, а второй - один нолик. Игра заканчивается, когда все клетки таблицы заполнены. После этого вычисляются два числа: A - количество строк, в которых больше крестиков, чем ноликов, и B - количество столбцов, в которых больше ноликов, чем крестиков. (При этом средняя строка считается одной строкой из 10 клеток, а средний столбец - одним столбцом из 10 клеток.) Первый выигрывает, если A > B, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Х Х Х Х О О О О

Решение. Заметим сначала, что в каждой строке и каждом столбце, кроме средних, по 11 клеток; поскольку число 11 нечётно, в каждом из этих рядов крестиков и ноликов не может быть поровну. Приведем выигрышную стратегию для второго игрока. Каждым своим ходом ему следует ставить нолик в клетку, симметричную клетке, в которую только что поставил крестик первый игрок, относительно центра доски (понятно, что он всегда сможет так сделать). Покажем, что при такой стратегии количество строк, в которых больше крестиков, будет равно количеству столбцов, в которых больше ноликов. Заметим, что все клетки таблицы (кроме центральной) разобьются на пары симметричных относительно центра, причём в каждой такой паре клеток будут стоять ровно один нолик и один крестик.

Рассмотрим сначала среднюю строку таблицы. Центральная клетка (центр таблицы) вырезана. Остальные 10 клеток разбиваются на 5 пар симметричных. Это означает, что в них стоят 5 крестиков и 5 ноликов. Эта строка не даёт преимущества первому игроку. Аналогично, средний столбец не даёт преимущества второму игроку. Рассмотрим теперь первую и последнюю строки таблицы. Их клетки образуют 11 пар симметричных клеток. Это означает, что в них суммарно стоит 11 крестиков и 11 ноликов. Значит, если в одной из этих строк больше крестиков, то в другой больше ноликов. Аналогичное утверждение можно доказать про остальные пары симметричных строк таблицы, а также про все пары симметричных столбцов. Итак, количество строк, в которых больше крестиков, будет равно 5, и количество столбцов, в которых больше ноликов, будет также равно 5. Поэтому A = B = 5, и второй выиграет.