Цифры Цифры (позднелатинское cifra, от арабского сифр – нуль, буквально – пустое место; арабы этим словом называли знак отсутствия разряда в числе) – условные. - презентация

1 Цифры Цифры (позднелатинское cifra, от арабского сифр – нуль, буквально – пустое место; арабы этим словом называли знак отсутствия разряда в числе) – условные знаки для обозначения чисел. Древнейшие известные нам цифры – цифры вавилонян (2-е тысячелетие до нашей эры – начало нашей эры) и египтян ( годы до нашей эры). Робинзон Крузо, Эдмон Дантес, библиотекари: XVII17

2 Римские цифры Римские цифры – традиционное название знаковой системы для обозначения чисел, основанной на употреблении особых символов для десятичных разрядов: Incomitatus ? ???Centum - сто ?Millennium ? IVXLCDM

3 Римские цифры – знаковая система Возникла около 500 лет до нашей эры у этрусков и использовалась в Древнем Риме; иногда употребляется и в настоящее время. В этой системе натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая – перед большой, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правила применяется только во избежание четырехкратного повторения одной и той же цифры.

4 Римские цифры Например, I, X, C ставятся соответственно перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400. Например, VI=5+1=6, IV=5-1=4 (вместо IIII), XIX=10+(10-1)=19 (вместо XVIIII), XL=50-10=40 (вместо XXXX), XXXIII= =33 и т.д. Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно. В титрах зарубежного фильма указан год его выпуска: MCMXLVII или MCMXCIX. Какой это год в арабских числах?

5 Арабские цифры Арабские цифры – традиционное название десяти математических знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощью которых в десятичной системе счисления записываются любые числа. Эти цифры возникли в Индии (не позднее 5 века), в Европе стали известны в веках по арабским сочинениям (отсюда название).

6 Числа со знаком «минус» (меньше нуля) называются отрицательными. Такими числами пользовались индийские математики уже в VII веке нашей эры, а китайские еще раньше. Индийские ученые пытались и в жизни найти примеры существования отрицательных чисел, но безрезультатно. Это чисто абстрактное понятие, необходимое лишь для решения сложных алгебраических уравнений.

7 Диофа́нт Александри́ейский (др.-греч. Διόφαντος λεξανδρεύς; лат. Diophantus)

8 Диофант Диофант (вероятно 3 век) – древнегреческий математик из Александрии. Нередко упоминается как «отец алгебры». Сохранилась часть его математического трактата «Арифметика» (6 книг из 13), где дается решение задач, в большинстве приводящихся к неопределенным уравнениям (т.н. диофантовым уравнениям) до 4-й степени, решение которых ищется в рациональных положительных числах (отрицательных чисел во времена Диофанта не было). Во времена Диофанта не было отрицательных чисел. Уравнение x+7=3 решения не имело. Решить задачу про пассажиров: Х+5-7+8=7. Отрицательные числа – мнимые числа?

9 Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены целыми или рациональными числами.

10 Неизвестную Диофант называет «числом» ( ρ ι θ μ ό ς ) и обозначает буквой ς. Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ.

11 Диофант называл уравнения, требующие отрицательных чисел, неуместными.

12 В Европе отрицательные числа долго не находили признания. В XIII-XVI веках отрицательные числа рассматривались европейцами лишь в исключительных случаях. Ещё французский философ, физик и математик Рене Декарт в XVII веке называл их «ложными числами». Только во второй половине XVII века уровень развития алгебры вынудил европейцев «узаконить» отрицательные числа.

13 Хорезми, аль-Хорезми Абу Абдалла Мухаммед бен Муса аль-Маджуси (787, Хива, - около 850)

14 Хорезми Хорезми, аль-Хорезми Абу Абдалла Мухаммед бен Муса аль- Маджуси (787, Хива, - около 850) – среднеазиатский математик и астроном. Автор арифметического трактата, который в 12 веке был переведен с арабского на латинский язык и по которому в Европе познакомились с индийской позиционной системой счисления. В алгебраическом труде Хорезми («Краткая книга восполнения и противопоставления» - Китаб мухтасар аль-джебр ва-л- мукабала) алгебра впервые рассматривается как самостоятельная отрасль математики, вводятся правила действий с алгебраическими количествами и систематически решаются уравнения 1-й и 2-й степени. Этот трактат долго служил основным руководством по алгебре в странах Европы.

15 Хорезми Название операции «аль-джебр», состоящей в перенесении членов из одной стороны уравнения в другую с изменением знака, впоследствии стало названием раздела математики (алгебра). Имя аль-Хорезми (латинизированное Algorithmi) вошло в математику вначале как обозначение арифметики с помощью индийских чисел, а затем как общее название (алгоритм) всякой системы операций (вычислений), выполняемых по строго определенным правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи (например, алгоритм извлечения корня из числа).

16 Четыре алгебры традиционная (обычная школьная); булева алгебра; теории множеств; алгебра комплексных чисел.

17 Что такое алгебра? Алгебра в современном понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции называются алгебраическими операциями. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся эти операции.

18 Ассоциативность Ассоциативность (от позднелат. Assotiatio – соединение) сочетательность, сочетательный закон, – свойство сложения или умножения чисел: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( a b ) c=a ( b c ). В общем смысле операция * называется ассоциативной, если ( a * b ) * c = a * ( b * c ). Свойством ассоциативности обладает умножение матриц, подстановок, преобразование; векторное умножение не ассоциативно.

19 Дистрибутивность Дистрибутивность (от лат. Distributivus – распределительный), распределительность, распределительный закон, - свойство, связывающее сложение и умножение чисел и выражающееся тождествами: a. ( b + c ) = a. b + a. c,(Д1) ( b + c ). a = b. a + c. a.(Д2) Если «+» и «·» - произвольные бинарные алгебраические операции, то при выполнении обоих тождеств (Д1) и (Д2) операция «·» называется дистрибутивной относительно операции «+».

20 Коммутативность Коммутативность (от позднелатинского Commutativus – меняющий(ся)), переместительность, переместительный закон, - свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами: a + b = b + a, a. b = b. a. В общем случае бинарная операция * называется коммутативной, если a * b = b * a. Свойством коммутативности обладают, например, сложение и умножение многочленов; векторное умножение и умножение матриц не являются коммутативными.

21 Числа Натуральные {1, 2, 3, 4, …}. Целые (натуральные, ноль и отрицательные). На Северном речном вокзале Москвы есть причалы с номерами: 0 и -1. Рациональные (представимые в виде отношения N/M, M0). Иррациональные (не представимые в виде N/M, M0). Доказать, что корень из двух – это иррациональное число. Алгебраические (корни полинома). Трансцендентные (не являющееся корнем полинома). Комплексные (пример из волновой механики – сумма двух волн равная нулю).

22 Системы счисления Системы счисления, построенные на позиционном принципе записи чисел, с основанием 10, 2, 8, 16: –2 – двоичная; –8 – восьмеричная; –10 – десятичная; –16 – шестнадцатеричная. Простота умножения двоичных чисел и примеры умножения шестнадцатеричных. Запись программистов (формат записи двоичных чисел всегда оговаривается особо): X = 10 = 012 = 0xA.