Лекция 7 Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. - презентация

1 Лекция 7 Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

2 Пересечение поверхностей Для построения линии пересечения поверхностей необходимо найти ряд точек, общих для заданных поверхностей, и соединить их плавной линией Геометрическое место точек, принадлежащее одновременно двум поверхностям, называют линией пересечения данных поверхностей а) б)в) г) Возможные случаи: Две замкнутые линии (пересечение насквозь) Одна замкнутая линия (врезание одной в другую) Кривая и гранная поверхности (совокупность плоских кривых) Две многогранные поверхности (ломаная линия)

3 Анализ заданных поверхностей 1. Линия пересечения 2-х поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую 2. Если заданы поверхности второго порядка, то при их пересечении получается пространственная кривая четвертого порядка 3. Часть искомой линии пересечения получается видимой в пересечении видимых частей поверхностей

4 Анализ заданных поверхностей 4. Если одна из заданных поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма),то одна из проекций искомой линии пересечения совпадает со следом этой поверхности

5 Анализ заданных поверхностей 5. Если у заданных поверхностей 2 порядка есть общая плоскость симметрии, которая проходит через их оси вращения, то: Линия пересечения будет симметрична относительно плоскости Линия пересечения будет симметрична относительно плоскости Наивысшая 1 и низшая 2 точки линии пересечения всегда располагаются в плоскости Наивысшая 1 и низшая 2 точки линии пересечения всегда располагаются в плоскости Если плоскость параллельна плоскости проекций, то на ней линия пересечения будет кривой второго порядка, ее видимая и невидимая части накладываются Если плоскость параллельна плоскости проекций, то на ней линия пересечения будет кривой второго порядка, ее видимая и невидимая части накладываются

6 a b Алгоритм решения задачи Г 1. Поверхности рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г 2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждой из поверхностей 3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям 4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения А B Г b Г а ; a b A,B

7 Методические указания Вспомогательные плоскости следует выбирать так, чтобы в сечении получались простые линии Сначала определяют опорные точки: экстремальные точки; точки перемены видимости, лежащие на очерках поверхностей; особые точки кривых пересечения (концы осей эллипса, вершины гиперболы или параболы, вершины ломанной) Уточняют линию пересечения с помощью промежуточных точек

8 Пересекающиеся поверхности (сфера и конус) имеют общую плоскость симметрии Ф(Ф 1 ), являющейся фронтальной плоскостью уровня. Следовательно, фронтальные очерки поверхностей, лежащие в плоскости Ф, пересекаются.4. ПО Ф1Ф1

9 На П 2 находим проекции высшей (1 2 ) и низшей (2 2 ) точек искомой линии, как точек пересечения фронтальных очерков поверхностей. Горизонтальные проекции точек (1 1 и 2 1 ) будут располагаться на следе плоскости Ф 1.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21)

10 Точки изменения видимости линии на П 1, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью плоскости Г(Г 2 ). На П 1 это будут точки пересечения экватора сферы с соответствующей параллелью конуса и 4 1. На П 2 проекции точек (3 2 и 4 2 ) располагаем на следе плоскости (Г 2 ).4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г2 (42)(42)

11 Промежуточные точки, уточняющие форму линии пересечения, находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня Г и Г На П 1 это будут точки пересечения соответствующих параллелей сферы и конуса. Точки можно оставить без обозначения.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

12 Найденные на горизонтальной плоскости проекций проекции промежуточных точек (они не обозначены на чертеже) переносим на фронтальные следы (Г 2 и Г 2 ) плоскостей, с помощью которых промежуточные точки построены.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

13 При объединении в линию всех построенных проекций точек на П 2 следует учитывать, что вся линия пересечения разделяется плоскостью Ф на две симметричные ветви, которые совпадут на фронтальной плоскости проекций.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

14 При соединении проекций точек на горизонтальной плоскости проекций выявляют видимый и невидимый участки линии пересечения. Эти участки разделяются проекциями точек перемены видимости и 4 1, лежащими на экваторе сферы.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

15 На этапе обводки очерков поверхностей следует обвести толстой сплошной линией только очерки, не участвующие в пересечении 4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

16 Видимая часть поверхности сферы, ограниченная линией пересечения, затушевана, что повышает наглядность изображения.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

17 Заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности конуса.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

18 Заданы две пересекающиеся поверхности (полусфера и призма, находящаяся в горизонтально проецирующем положении). Все три грани приз- мы участвуют в пересечении. Значит, линия пересечения состоит из трех участков, представляющих собой плоские кривые второго порядка.5.ПО

19 Фиксируем на П 1 проекции точек пересечения ребер призмы с поверхностью сферы (1 1, 2 1 и 3 1). На П 2 проекции 1 2 и 2 2 находим на экваторе сферы, а на параллели, полученной с помощью плоскости Ф(Ф 1 ). Часть параллели между 3 2 и 4 2 будет первым участком искомой линии.5. ПО Ф1Ф1 (12)(12)2 (32)(32)

20 На П 1 проекции 4 1 и 5 1 фиксируем как точки пересечения меридиана сферы, лежащего в плоскости Ф (Ф 1 ), с гранями призмы. Фронтальные проекций указанных точек (4 2 и 5 2 ) располагаем на меридиане сферы. Это будут точки, меняющие видимость линии пересечения на П (12)(12) (32)(32) ПО Ф1Ф1 Ф1Ф

21 Грани призмы рассекают сферу по окружностям, две из которых проецируются на П 2 в эллипсы. Вершины этих эллипсов (высшие точки линии пересечения) находим на П 1, обозначив их как 6 1 и 7 1. Проекции 6 2 и 7 2 находим с помощью плоскостей Ф (Ф 1 ) и Ф (Ф 1 ) соответственно Ф1Ф1 (12)(12) (32)(32) Ф1Ф Ф1Ф ПО Ф1Ф

22 2 Промежуточные точки линии пересечения, уточняющие форму эллипсов и выбранные произвольно на горизонтальном очерке призмы, строим на П 2 с помощью секущей плоскости Ф IV (Ф 1 IV ) по аналогии с другими точками. Промежуточные точки не обозначены Ф1Ф Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф1 Ф1Ф1 IV Ф1Ф1 1 (12)(12)

23 На П 2 объединяем все построенные точки в участки - эллипсы линии пересечения, а на П 1 вся линия совпадает с очерком проецирующей приз- мы. При обводке эллипсов на П 2 следует учитывать, что проекции точек (4 2 и 5 2 ), лежащих на меридиане сферы, изменяют видимость эллипсов Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф1 Ф1Ф1 IV (12)(12)

24 На П 2 обводим фронтальные очерки сферы и призмы, выявляя их видимые и невидимые участки Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф1 IV 5151 Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф (12)(12)

25 Тушевка повышает наглядность изображения. На П 2 видимая часть поверхности сферы ограничивается линией пересечения и видимой частью очерка сферы Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф1 IV 5151 Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф (12)(12)

26 На П 2 заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности призмы Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф1 IV 5151 Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф (12)(12)