Дополнительные главы математической физики-3 Линейные уравнения математической физики Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012. - презентация

1 Дополнительные главы математической физики-3 Линейные уравнения математической физики Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012

2 Линейные уравнения математической физики Уравнения или системы уравнений в частных производных. Как минимум, два аргумента. Искомая функция u(x,y) P(x,y) и Q(x,y) – заданные функции. Можно ли задавать их произвольно? Решение системы – в виде контурного (криволинейного) интеграла (*) При условии (*) интеграл не зависит от пути интегрирования (полностью определяется начальной и конечной точками)

3 Линейные уравнения с частными производными второго порядка (примеры) - волновое уравнение (гиперболическое) - уравнение теплопроводности (параболическое) - уравнение Лапласа (эллиптическое) - уравнение Гельмгольца

4 Двумерный оператор Лапласа в полярных координатах-1 Замена переменных в дифференциальных выражениях

5 Двумерный оператор Лапласа в полярных координатах-2

6 Трехмерный оператор Лапласа В цилиндрических координатах В сферических координатах

7 Волновое уравнение (одномерное) Начальные условия Замена переменных

8 Решение Даламбера Связь с начальными значениями Частный случай: Ψ = 0, начальное возмущение (при t = 0) ϕ сосредоточено на интервале от α 1 до α 2 t Характеристики 00 0

9 Домашнее задание Проанализировать частный случай: ϕ = 0, начальное возмущение (при t = 0) Ψ сосредоточено на интервале от α 1 до α 2

10 Импульс на границе раздела двух сред Непрерывность на границе раздела х = 0 функции u и ее производной Общее решение при x < 0: Смысл f и g: профили импульсов падающего (задан) и отраженного (ищется) излучения Решение при x > 0 (?) (только импульс преломленного излучения, h – искомая функция) Штрих означает производную по аргументу функции.

11 Импульс на границе -2 Дифференцируем 1-е уравнение по t Интегрируем по t const = ? Формулы Френеля Случаи,

12 Двумерное волновое уравнение Цилиндрические волны - круг с центром в точке M(x,y) и радиусом at

13 Трехмерное волновое уравнение Формула Пуассона Сравнение одномерного, двумерного и трехмерного случаев

14 Уравнение теплопроводности (диффузии) Одномерное уравнение теплопроводности В общем случае параметр а может быть не только вещественным, но и комплексным (дифракция в квазиоптическом приближении). Волновое уравнение: Уравнение Гельмгольца (знак Re опускается)

15 Параксиальное приближение (приближение медленно меняющихся амплитуд)

16 Уравнение теплопроводности – общие свойства Одномерное уравнение теплопроводности Линейность и принцип суперпозиции Симметрия. Если есть решение то решением будет и

17 Обращение времени? Плосковолновые решения k – вещественная пространственная частота Решение Дисперсионное уравнение Если, то γ < 0 – экспоненциальное убывание при и возрастание при Быстрее всего меняются мелкие неоднородности. Если же - чисто мнимое (квазиоптическое уравнение), то проблемы необратимости нет – симметрия к изменению знака времени при одновременном комплексном сопряжении ур-ния.

18 Моменты (локализованные структуры) Момент нулевого порядка - «масса» Доказательство ? Момент первого порядка Доказательство (используя интегрирование по частям)? Моменты высших порядков уже не сохраняются. Например,

19 Автомодельное решение Решение с сохранением формы при меняющихся со временем масштабах Размерность [ ] = ? Безразмерная комбинация: (Четное) автомодельное решение ищем в виде Используем сохранение момента нулевого порядка

20 Автомодельное решение-2 Подстановка к исходное уравнение dx = ? - ОДУ

21 Автомодельное решение-3 Четное решение u

22 Решение уравнения теплопроводности Существенно используется линейность задачи (принцип суперпозиции) и постоянство коэффициентов уравнения. Метод Фурье (разделение переменных). Частное решение ищем в виде

23 Решение одномерного уравнения теплопроводности Это общее решение уравнения теплопроводности, но еще не обеспечено выполнение начального условия. Должно выполняться

24 Решение одномерного уравнения теплопроводности-2 По свойствам преобразования Фурье С учетом соотношения окончательно получаем решение в виде

25 Задача Начальное распределение температуры С какой скоростью распространяется возмущение температуры?

26 Задание Начальное распределение температуры Вычислить распределение температуры при t > 0.

27 Уравнение теплопроводности в полярных координатах (1 + 2) Метод Фурье (разделение переменных)

28 продолжение -цилиндрические функции n-го порядка (в том числе функции Бесселя)

29 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка p(z) и q(z) – аналитические в области S функции комплексного аргумента z за исключением конечного числа полюсов. Точки области S обыкновенные (в них p(z) и q(z) – аналитические) и особые (полюса) (однородное уравнение)

30 Асимптотика на бесконечности Характер решения диф. уравнения при больших |z| отвечает таковому при малых Задача: выполнить в (*) замену переменной

31 Общее (фундаментальное) решение Для уравнения второго порядка – два линейно независимых решения Общее решение Условие линейной независимости: (второе решение не сводится к первому, домноженному на const) Определитель Вронского Формула Лиувилля Доказать формулу Лиувилля

32 Определение 2-го решения по известному 1-му

33 Решение в виде степенных рядов -аналитические в точке z = 0 функции c радиусом сходимости R Ищем решение в виде (?) Q – однородный полином 1-й степени от своих аргументов В круге радиуса R ряд (*) сходится (окрестность обыкновенной точки)

34 Правильные/неправильные точки дифференциального уравнения Точка z = c называется правильной, если в ней аналитичны функции Ряды сходятся в круге с центром в точке с и с таким радиусом, что внутри круга имеется только одна особая точка уравнения

35 Формальное решение (в окрестности правильной точки) -ищем решение в таком виде, искомые и

36 Показатели дифференциального уравнения Фундаментальная система решений

37 Задача Найти показатели в точке 0 и первые члены рядов для решений уравнения Дома: найти все коэффициенты и радиусы сходимости рядов

38 Если разность показателей – целое число (или 0) Пусть - показатель с большей вещественной частью, Тогда второе решение в виде ряда может потерять смысл или совпасть с первым. В этом случае второе решение можно найти по известному первому (см. выше). Ответ:

39 Уравнение Бесселя Особая точка: z = 0 Определяющее уравнение: Первое решение Второе решение Линейная независимость при Например, при p = 0 …

40 Функции Бесселя с целым индексом Радиус сходимости ? Частные случаи: - символ Кронекера Второе решение уравнения Бесселя Общее решение уравнения Бесселя при p = n: - линейно зависимы

41 Степенной ряд для произвольных индексов Г – гамма-функция (обобщение факториала)

42 Рекуррентные формулы для функций Бесселя Из степенного ряда

43 Рекуррентные формулы Формулы справедливы для любых цилиндрических функций В частности

44 Функции Бесселя с полуцелым индексом Полученные ранее решения линейно независимы:

45 продолжение Привлекаем рекуррентные соотношения … - элементарные функции

46 Пары решений уравнения Бесселя

47 При малых аргументах При больших аргументах

48 Функции Бесселя с целым индексом Бесконечное число нулей (вещественных, неотрицательных и простых, за исключением x = 0 при n > 0) Чередование максимумов и нулей функций. У этих функций нет общих нулей. Наименьший положительный корень ближе к 0, чем у

49 Ортогональность функций Бесселя Пусть - корни уравнения Тогда

50 Доказательство

51 Окончание Предел в (*)

52 Разложение функций в ряд Из условий ортогональности (см. предыдущий слайд). Можно доказать, что система базисных функций является полной.

53 Двумерное волновое уравнение (полярные координаты) Задача для внутренней области круга радиуса R: - волновое число Случай нулевого граничного условия: - бесконечное число положительных корней Частные решения: Разделение переменных (метод Фурье)

54 продолжение Общее решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям: Начальные условия

55 Продолжение. Разложение по Ряды Фурье Аналогично для (2)

56 Окончание. Разложение по Используем ортогональность функций Бесселя

57 Задание Аналогично решить задачу для двумерного уравнения теплопроводности в полярных координатах

58 -функция (Дирака) Обобщенная функция. Определение (область интегрирования включает точку а) Свойства Трехмерная -функция Производные от -функции Точечный источник

59 -функция (окончание) Родственные функции V.P. – главное значение интеграла

60 Метод Фурье на конечном интервале (1D)

61 Разделение переменных Граничные условия при x = 0, x = l:

62 Начальные условия Использовано выражение для коэффициентов разложения в ряд Фурье

63 Вынужденные колебания

64 Разделение переменных

65 Задачи