Геометрия Виды геометрических фигур и их измерения 1. Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех. - презентация

1 Геометрия

2 Виды геометрических фигур и их измерения 1. Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех соединяющих их отрезков

3 Высота Высота – перпендикулярна стороне. АС В а c b h Биссектриса Медиана Медиана – делит сторону пополам. Биссектриса – делит угол пополам.

4 Периметр: Площадь: 1) 2) 3)

5 Признаки равенства треугольников 1 признак 2 признак 3 признак

6 А С В а c b Теорема Пифагора: гипотенуза катет Прямоугольный

7 АС В а b Равнобедренный а

8 АС В а а Равносторонний а

9 Решение треугольников А С В с а b α β γ Теорема синусов: Теорема косинусов: «+» – если γ - тупой «–» – если γ - острый

10 2. Четырехугольник - геометрическая фигура, состоящая из четырех точек и четырех соединяющих их отрезков. При этом никакие три точки не должны лежать на одной прямой, а отрезки не должны пересекаться

11 А D В а b h Параллелограмм С

12 А D В а b Прямоугольник С

13 А D В а Ромб С а а

14 А D В а а Квадрат С а а

15 А D В b c Трапеция С d а k

16 Правильные многоугольники Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны. Сумма центральных углов = 360º Сумма углов = 180º(n – 2) Все углы равны.

17 Правильный треугольник -равносторонний Правильный четырехугольник -квадрат Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник

18 Комбинированные фигуры

19 10 8

20 трапеция параллелограмм S1S1 S2S2 S3S3 S3S3

21 Стереометрия - раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. точка прямая плоскость

22 Прямые в пространстве пересекающиеся параллельные скрещивающиеся лежат в одной плоскости и имеют общую точку лежат в одной плоскости и не пересекаются не пересекаются и не лежат в одной плоскости

23 Угол между скрещивающимися прямыми а b α

24 Теорема о трех перпендикулярах а А В С α АС – наклонная к плоскости α АВ - перпендикуляр ВС – проекция АС С – основание наклонной В – основание перпендикуляра

25 Плоскости в пространстве пересекающиеся параллельные а b а 1 а 1 b1b1 α β пересекаются по прямой

26 Угол между плоскостями α β с γ b а Углом между α и β называется угол между а и b

27 Прямая и плоскость в пространстве Прямая принадлежит плоскости Все точки прямой принадлежат плоскости Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая лежит в этой плоскости Параллельны Пересекаются Не имеют общих точек Если прямая, не лежащая в плоскости, || прямой, лежащей в плоскости, то она || плоскости а b Имеют одну общую точку а а

28 Угол между прямой и плоскостью Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость а α γ

29 Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекаю- щимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. α с b a

30 Многогранные углы

31 Двугранный угол – фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а прямая – ребром. α α – линейный угол двугранного угла грань ребро

32 Трехгранный угол – фигура, состоящая из трех плоских углов: (ab), (ac), (bc). Это грани, их стороны – ребра. Двугранные углы, образованные гранями называются двугранными углами трехгранного угла

33 Многогранный угол Сумма плоских углов меньше 360˚

34 Многогранники Многогранник – это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников – граней. Стороны многоугольников называются ребрами, а вершины – вершинами многогранника.

35 Призма – многогранник, состоящий из двух равных многоугольников (оснований), лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами. Боковая поверхность состоит из параллелограммов (боковых граней).

36 Если боковые ребра перпендикулярны основанию, то призма называется прямой. В противном случае – наклонной. У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.

37 Площадь полной поверхности призмы: Для прямой призмы: S полн = 2S осн + S бок S бок = Р осн h Объем: V = S осн h

38 Параллелепипед – призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым и наклонным.

39 Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

40 S полн = 2 (ab + bc + ac) V = a b c S полн = 2 (ab + bc + ac) V = a b c Для куба:

41 Пирамида

42 – многогранник, состоящий из плоского многоугольника (основания), точки, не лежащей на основании (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Боковые грани – треугольники. Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины на основание.

43

44 Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник. Высота боковой грани пирамиды называется апофемой. S полн = S осн + S бок l - апофема

45 Усеченная пирамида Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, отсекает от нее подобную ей пирамиду. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой. Основаниями являются подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции.

46

47 Правильные многогранники Многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число ребер.

48 1. Тетраэдр – треугольная пирамида, у которой все ребра равны. Грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится три ребра. « Тетра » = четыре

49 2. Куб (гексаэдр) – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Грани – квадраты. В каждой вершине сходится три ребра. « Гекса » = шесть

50 3. Октаэдр Грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится четыре ребра. « Окта» = восемь

51 4. Додекаэдр Грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится три ребра.

52 5. Икосаэдр Грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится пять ребер.

53 Тела вращения – это тела, описываемые плоской фигурой при вращении ее вокруг неподвижной оси.

54

55 Цилиндр – тело, состоящее из двух равных кругов, лежащих в параллельных плоскостях, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги – основания. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей, – образующие. Если образующие перпендикулярны основанию, цилиндр называется прямым.

56 Радиусом цилиндра называется радиус основания. Ось - прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим образующая ось h R l O O1O1 V = R 2 h S бок = 2 R h S осн = R 2 S полн = S бок + 2S осн

57

58 Конус – тело, состоящее из круга (основания), точки, не принадлежащей кругу (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину с точками окружности, – образующие. Конус называется прямым, если перпендикуляр, опущенный из вершины, совпадает с центром круга. Тогда он называется осью.

59 образующая ось h R l O S S бок = R l S осн = R 2 S полн = S бок + S осн

60

61 S полн = S бок + S осн 1 + S осн 2 Усеченный конус образующая ось h R l O O1O1 S бок = (R 1 + R 2 ) lc

62

63 Шар Сфера (шаровая поверхность) – множество точек, расположенных на одинаковом расстоянии от заданной точки (центра). Это расстояние называется радиусом. Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Расстояние от любой точки шара до центра не превосходит радиуса шара.

64 S = 4 R 2

65

66 Шаровой сегмент – часть шара, отсекаемая от него плоскостью. S = 2 Rh R – радиус шара h – высота сегмента h r R

67

68 Шаровой сектор – тело, полученное из шарового сегмента и конуса, у которого вершина – центр шара, а основание – основание сегмента. Если сегмент меньше полушара, то конус к нему добавляется, а если больше – удаляется из него. R – радиус шара h – высота сегмента