Лекция 10 Пересечение поверхности плоскостью. При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается фигура, которая называется. - презентация

1 Лекция 10 Пересечение поверхности плоскостью

2 При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается фигура, которая называется сечением. Сечение поверхности плоскостью в общем случае представляет собой кривую (или прямую, если пересекаются плоскости), принадлежащую секущей плоскости.

3 Примеры пересечения поверхностей плоскостью

4 Алгоритм определения линии сечения поверхности плоскостью Определение проекций линий сечения следует выполнять по следующему алгоритму: Определить опорные точки – точки расположенные на очерковых образующих поверхности (эти точки определяют границы видимости проекции кривой);

5 Экстремальные точки, удаленные на минимальные и максимальные расстояния от плоскостей проекций; Произвольные (промежуточные) точки линии сечения В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая.

6 Пересечение многогранников плоскостью. При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением. Сечение поверхности плоскостью - плоская кривая, принадлежащая секущей плоскости. При сечении многогранника плоскостью образуется ломаная линия, при сечении кривой поверхности - кривая линия. Проекциями сечения многогранников, в общем случае являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны – граням многогранника.

7 Задача по определению сечения многогранника сводится к многократному решению задач: а) по определению точки встречи прямой (ребер многогранника) с плоскостью; или б)по нахождению линии пересечения двух плоскостей (грани многогранника и секущей плоскости).

8 При решении задачи на пересечение поверхности плоскостью необходимо выполнить следующий анализ: 1. Определить какого положения плоскость и поверхность относительно плоскостей проекций. Если плоскость проецирующая, то на одной из плоскостей проекций линия пересечения уже имеется. Её нужно обозначить, а на второй положение определить по принадлежности.

9 2. Если поверхность – общего положения, то необходимо одну из поверхностей преобразовать в проецирующую. 3. Выяснить возможный характер линии пересечения.

10 Построение линии пересечения поверхности призмы с плоскостью общего положения X 2,1 А1А1 А2А2 В2В2 В1В1 С2С2 С1С1 Аٰ 2 Вٰ 2 Сٰ 2 Сٰ 1 Вٰ 1 Аٰ 1 X,1,

11 Пересечение плоскости с многогранником Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о нахождении точки пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами искомого сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению линий пересечения плоскости с гранями тела. Задача. Дана призма и плоскость общего положения заданная двумя пересекающимися прямыми а и b. Необходимо построить сечение призмы данной плоскостью.

12 X 2,1 А1А1 А2А2 В2В2 В1В1 С2С2 С1С1 Аٰ 2 Вٰ 2 Сٰ 2 Сٰ 1 Вٰ 1 Аٰ 1 D1D1 E 1E 1 Fٰ2Fٰ2 Eٰ2Eٰ2 Dٰ2Dٰ h 2 h 1 X,1, E 4E 4 F X 4,5 C 4C 4 A 4A 4 B 4B 4 Сٰ 4 Aٰ 4 Bٰ D 4D 4 F 4F 4 D5D5 F5F5 E5E5

13 Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола линии пересечения плоскости с конической поверхностью

14 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола и окружность а в частных случаях: прямая, две пересекающиеся прямые и точка.

15 Примеры пересечения конуса плоскостями. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник(а). В сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (б). Если секущая плоскость наклонна к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении могут получиться эллипс, парабола и гипербола. Эллипс получается в том случае, когда угол между секущей плоскостью и осью вращения (β) больше, чем угол между осью вращения и образующей конуса (α) (рис.в), т. е. плоскость пересекает все образующие конуса.

16 Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник(а). В сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, получается окружность (б).

17 Если секущая плоскость наклонна к оси вращения конуса и не проходит через его вершину, в сечении могут получиться эллипс, парабола и гипербола. Эллипс получается в том случае, когда угол между секущей плоскостью и осью вращения (β) больше, чем угол между осью вращения и образующей конуса (α) (рис.в), т. е. плоскость пересекает все образующие конуса.

18 Если углы α и β равны, т.е. секущая плоскость проходит параллельно одной из образующих конуса, в сечении получается парабола(рис.г). Если секущая плоскость, направленная под углом к оси вращения конуса, пересечет его так, что угол β будет меньше угла α, то в сечении получится гипербола (рис.д).

19 Примеры пересечения конуса плоскостью Если плоскость Ф пересекает все образующие поверхности конуса вращения, т.е. если φ>α, то линией сечения является эллипс. В этом случае секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих поверхности конуса.

20 Если плоскость Ф параллельна одной образующей поверхности конуса, т.е. φ=α, то линией пересечения является парабола. В частном случае (плоскость является касательной к поверхности конуса) сечение вырождается в прямую.

21 Если плоскость Ф параллельна двум образующим поверхности конуса (в частном случае параллельна оси конуса), т.е. φ

22 X 2,1 S 2 O 2 O 1 S 1 h 2 h 1 A1A1 A2A2 X 1,4 h 4 A4A4 a a S4S4 R

23 Пересечение поверхности проецирующей плоскостью

24 Σ2Σ RR Δ2Δ

25 Пересечение фронтально проецирующей плоскостью Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П 1 и П 3 в виде эллипса, а на плоскость П 2 в прямую линию ограниченную очерком сферы. Охарактеризуем выбранные для построения точки: 1, 8- две вершины эллипса, определяющие положение малой оси на горизонтальной и профильной проекциях, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы. Эти точки являются соответственно высшей и низшей точками сечения. 2, 3- фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П 3.

26 4, 5- две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α. 6, 7- фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П1. Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 1 2 …8 2. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β- горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 2 2, 3 2 проведем след плоскости β12, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β1 и сферы будет окружность m11, а точки 2 1 и 3 1 лежат на этой окружности по линии связи ( в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 11 и 81, которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П1. Построенные точки 11…81 соединим плавной кривой линией с