Пифагор и его теорема - презентация

1

2 Презентацию подготовила Ученица 8- А класса Гимназии 24 Г. Севастополя Скрипцова Наталья

3

4 Местом рождения Пифагора стал город Сидон, расположенный в Финикии. Свершилось это событие примерно в 570 году до нашей эры. Его отец занимался изготовлением ювелирных изделий и проживал в достатке и благополучии, поэтому сын получил отличное воспитание и образование. Родители Пифагора получили предсказание, согласно с которым у них родится сын, превосходящий многих людей по уму и красоте. Когда сбылось предсказание, мальчика назвали в честь жрицы Пифии.

5 Еще с самого детства он старался получить как можно больше информации обо всем на свете. Свое обучение он проходит сразу в нескольких храмах, расположенных в Греции. Среди его первых учителей значится Ферекид Сиросский и старец Гермодамант. От первого из них мальчику досталась любовь к науке, а от второго, к поэзии. Когда была организована одна из первых кулачных Олимпиад, Пифагор становится в ней чемпионом. Согласно с имеющейся информацией, он посещал многие страны, а его учителями были известные мыслители.

6 На протяжении двадцатилетнего периода он проживает в Египте, где его посвящают в местного мистерию. Более десяти лет проживает в Вавилон, после чего отправляется в Сирию. Уже после того, как он пересек долину Евфрата, он обосновался среди халдеев. В дальнейшем, несколько лет ученый проводит в Индостане. Египтяне приобщили его к математике, на основании которой он занимается развитием своей философской системы. Вавилон даровал ему интерес к восточным религиям. Именно Пифагором в обращение было введено слово « философ ». До этого, все ученые звались мудрецами. После всех странствий он обосновался в Кротоне, где им была основана школа, называемая пифагорейским союзом.

7 Школа характеризовалась практически священным почитанием учителя. Те из учеников, которым удавалось пройти большую часть ступеней знаний, назывались его ближайшими учениками и допускались к его домашнему двору, где он с ними беседовал. Именно тогда в обиходе появилось такое понятие, как « экзотерический », тот, что находится внутри. Пифагорейцами изучалась геометрия, математика, гармония и астрономия. От Пифагора, одного из первых поступило заявление о том, что Земля находится в центре Вселенной и обладает шарообразной формой, а многие другие планеты двигаются по своей определенной траектории. Когда ему было около шестидесяти лет, его женой стала Феано, одна из его учениц.

8 По Ямвлиху, Пифагор возглавлял своё тайное общество тридцать девять лет, тогда приблизительная дата смерти Пифагора может быть отнесена к 491 до н. э., к началу эпохи греко - персидских войн. Диоген, ссылаясь на Гераклида (IV в. до н. э.), говорит, что Пифагор мирно скончался в возрасте 80 лет, или же в 90 лет ( по неназванным другим источникам ). Из этого следует дата смерти 490 до н. э. ( или 480 до н. э., что маловероятно ). Евсевий Кесарийский в своей хронографии обозначил 497 до н. э. как год смерти Пифагора.

9

10 1. История

11 В древнекитайской книге Чу - пей ( англ.) ( кит. ) говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Мориц Кантор ( крупнейший немецкий историк математики ) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I ( согласно папирусу 6619 Берлинского музея ). По мнению Кантора, гарпедонапты, или « натягиватели верёвок », строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 м от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключённым между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становится излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например, рисунки, изображающие столярную мастерскую.

12 Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой на критическом изучении греческих источников, Ван - дер - Варден ( голландский математик ) сделал вывод о большой вероятности того, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около XVIII века до н. э. Согласно комментарию Прокла к Евклиду, Пифагор ( годами жизни которого принято считать гг. до н. э.) использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки. Однако Прокл писал между 410 и 485 гг. н. э. Томас Литтл Хит (en:Thomas Little Heath) считал, что не существует явного упоминания, относящегося к периоду продолжительностью 5 веков после смерти Пифагора, что Пифагор был автором теоремы. Однако, когда авторы, такие как Плутарх и Цицерон, пишут о теореме Пифагора, они пишут так, как будто авторство Пифагора было широко известным и несомненным. « Принадлежит ли эта формула лично перу Пифагора …, но мы можем уверенно считать, что она принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики ». По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. Приблизительно в 400 г. до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Приблизительно в 300 г. до н. э. в « Началах » Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

13 Геометрическая формулировка : В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка : В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: a2 + b2 = c2 Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника. Обратная теорема Пифагора : Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

14 На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы [8]. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Данный факт даже нашёл отражение в художественной литературе : в повести « Приключения Электроника » Евгения Велтистова главный герой на школьном уроке математики приводит у доски 25 различных доказательств теоремы Пифагора, повергнув в изумление учителя и всех одноклассников. Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них : доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства ( например, с помощью дифференциальных уравнений ).

15 Следующее доказательство алгебраической формулировки наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры. Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения | BC | = a, | AC | = b, | AB | = c получаем ? : Что эквивалентно Сложив, получаем или a2 + b2 = c2, что и требовалось доказать

16 Если построить подобные геометрические фигуры ( см. Евклидова геометрия ) на сторонах прямоугольного треугольника, тогда сумма двух меньших фигур будет равняться площади большей фигуры. Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями A, B и C построенных на сторонах с длиной a, b и c, имеем : Но, по теореме Пифагора, a2 + b2 = c2, тогда A + B = C. И наоборот, если мы сможем доказать, что A + B = C для трех подобных геометрических фигур без использования теоремы Пифагора, тогда мы сможем доказать саму теорему, двигаясь в обратном направлении. Например, стартовый центральный треугольник может быть повторно использован как треугольник C на гипотенузе, и два подобных прямоугольных треугольника (A и B), построенные на двух других сторонах, которые образуются в результате деления центрального треугольника его высотой. Сумма двух меньших площадей треугольников тогда, очевидно, равна площади третьего, таким образом A + B = C и, выполняя предыдущее доказывания в обратном порядке, получим теорему Пифагора a2 + b2 = c2.

17 Пифагоровы штаны ( школьн., устар.) шуточное название одного из доказательств теоремы Пифагора.

18 В старых школьных учебниках приводилось доказательство теоремы через получение равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали покрой мужских штанов, что породило шуточные четверостишия, например : Пифагоровы штаны На все стороны равны. Чтобы это доказать, Нужно снять и показать или : Пифагоровы штаны На все стороны равны, Потому что Пифагор Не ходил три дня во двор. или : Пифагоровы штаны На все стороны равны, Число пуговиц известно Почему в штанах так тесно ? Икс велик Отвечает ученик.