Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, 2007 1/ 13 Лекция 1. Методологические аспекты математической экономики. Содержание лекции: 1. История. - презентация

1 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Лекция 1. Методологические аспекты математической экономики. Содержание лекции: 1. История экономико-математической модели 2. Предмет, основные цели и задачи математической экономики 3. Понятие экономико-математического моделирования 4. Принцип гомоморфизма – научная основа моделирования 5. Сфера применения метода моделирования Сфера применения метода моделирования Сфера применения метода моделирования 6. Классификация экономико-математических моделей Классификация экономико-математических моделей Классификация экономико-математических моделей 7. Этапы экономико-математического моделирования Этапы экономико-математического моделирования Этапы экономико-математического моделирования 8. Примеры составления математических моделей 9. Общая схема принятия решения

2 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Литература Данилов Н.Н. Курс математической экономики. / М.: «Высшая школа», Данилов Н.Н. Курс математической экономики. / М.: «Высшая школа», Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие для вузов/ под ред. В.В. Федосеев - М.: ЮНИТИ-ДАНА, Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. Пособие для вузов/ под ред. В.В. Федосеев - М.: ЮНИТИ-ДАНА, Аблянская Л.В. Экономико-математическое моделирование: учебник/ под общ. Ред. И.Н. Дрогобыцкого. – 2-е изд., - М.: «Экзамен», Аблянская Л.В. Экономико-математическое моделирование: учебник/ под общ. Ред. И.Н. Дрогобыцкого. – 2-е изд., - М.: «Экзамен», Крас М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов./М.: ПИТЕР, Крас М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов./М.: ПИТЕР, 2005.

3 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 История экономико- математической идеи Свод законов царя Хаммурапи ( гг. до н.э.) о развитии товарно-денежных отношений в Вавилонии Свод законов царя Хаммурапи ( гг. до н.э.) о развитии товарно-денежных отношений в Вавилонии Трактаты Ксенофонта ( гг. до н.э.) «О домашнем хозяйстве», «О доходах» вводится понятие меновой стоимости товара как способности обмениваться на другой товар. Трактаты Ксенофонта ( гг. до н.э.) «О домашнем хозяйстве», «О доходах» вводится понятие меновой стоимости товара как способности обмениваться на другой товар. Трактат Аристотеля ( гг. до н.э.) «Политика» деньги выступают в роли соизмерителя при обмене, и т.п Трактат Аристотеля ( гг. до н.э.) «Политика» деньги выступают в роли соизмерителя при обмене, и т.п «Статистика», синонимом «государствоведение» «Статистика», синонимом «государствоведение» в немецком издании по статистике, (1774 г.), в немецком издании по статистике, (1774 г.), «статистика, или государствоведение это наука или область знаний о современном политическом положении государства». «статистика, или государствоведение это наука или область знаний о современном политическом положении государства».

4 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 «... и сказал господь Моисею: пошли от себя людей, чтобы они высмотрели землю Ханаанскую, которую я даю сынам израилевым... и послал Моисей людей высмотреть землю Ханаанскую и сказал им: пойдите в эту южную сторону, и взойдите на гору, и осмотрите землю, какова она и народ, живущий в ней силен он или слаб, малочисленен или многочисленен». «... и сказал господь Моисею: пошли от себя людей, чтобы они высмотрели землю Ханаанскую, которую я даю сынам израилевым... и послал Моисей людей высмотреть землю Ханаанскую и сказал им: пойдите в эту южную сторону, и взойдите на гору, и осмотрите землю, какова она и народ, живущий в ней силен он или слаб, малочисленен или многочисленен».

5 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Уильяма Петти ( ), «Политическая арифметика» Уильяма Петти ( ), «Политическая арифметика» У. Петти обосновал исходные положения статистики, «точная осведомленность государей об имуществе их подданных не несет последним никакого вреда». У. Петти обосновал исходные положения статистики, «точная осведомленность государей об имуществе их подданных не несет последним никакого вреда». французский экономист Франсуа Кене ( ), «Экономическая таблица Кене», в ней содержались зачатки моделей экономической динамики. французский экономист Франсуа Кене ( ), «Экономическая таблица Кене», в ней содержались зачатки моделей экономической динамики. В XVIII веке Иммануил Кант «всякая наука постольку наука, поскольку она математика». В XVIII веке Иммануил Кант «всякая наука постольку наука, поскольку она математика».

6 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Малыхина В.И. применение математических методов в экономике идет по трем направлениям: 1. математическая экономика, 2. математические моделирование экономики 3. экономико-математические методы. Математическая экономика - чисто математическая теория экономики аксиомы от экономики, остальное от математики. Математическое моделирование экономики это описание математических моделей экономики их создание, анализ. Экономико-математические методы как совокупность математических методов, используемых для создания математических моделей экономики. Экономико-математические методы как совокупность математических методов, используемых для создания математических моделей экономики.

7 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Начало развития исследования операций как науки начинается с сороковых годов двадцатого столетия. Начало развития исследования операций как науки начинается с сороковых годов двадцатого столетия. Работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», 1939 г. Работа Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», 1939 г. В 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная решению линейных экстремальных задач. В 1947 г. работа Дж. Данцига, посвященная решению линейных экстремальных задач.

8 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / Понятие экономико- математического моделирования Модель – это упрощённое подобие реального объекта, используемое для его исследования Модель – это система, гомоморфная исследуемой системе (называемой объектом моделирования) и используемая для суждения об её свойствах и поведении. Моделирование – непрерывный процесс совершенствования модели, в котором знания о реальном объекте извлекаются из выявления несоответствий между моделью и объектом, их осмысления и устранения. Математическое моделирование – метод исследования реальных объектов при помощи постановки экспериментов на их математических моделях. Экономико-математическое моделирование обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально- экономических систем и процессов.

9 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Принципы и требования к моделям 1. адекватность (соответствие модели своему оригиналу); 2. объективность (соответствие научных выводов реальным условиям); 3. простота (не засоренность модели второстепенными факторами); 4. чувствительность (способность модели реагировать на из­менение начальных параметров); 5. устойчивость (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи); 6. универсальность (широта области применения).

10 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Принцип гомоморфизма – научная основа моделирования

11 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Гомоморфизм – это логико- математическое понятие, означающее одностороннее отношение подобия между двумя системами. Систему называют гомоморфной другой системе, если первая обладает некоторыми, но не всеми, свойствами или законами поведения другой.

12 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Сфера применения метода моделирования 1. Объект недоступен для непосредственного исследования (причины радиоизлучения квазаров, процессы формирования кимберлитовых трубок) 2. Уникальный или дорогостоящий объект разрушится вследствие исследования (предельная нагрузка на железнодорожный мост) 3. Исследование на реальном объекте дорого, трудоёмко или опасно (влияние биологических средств борьбы с вредителями сельскохозяйственных культур) 4. Исследование на реальном объекте займёт неприемлемо долгое время (процесс формирования каменноугольных залежей) 5. Реальный объект не существует: изучается возможность и целесообразность его создания (скоростная железнодорожная магистраль Москва – Васюки)

13 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Причины, ограничивающие применение моделирования 1. Никогда нельзя быть уверенным в адекватности модели. 2. Объект моделирования может быть подвержен изменениям. 3. Границы применимости модели, как правило, неизвестны. 4. Разработка и исследование модели могут оказаться намного дороже, чем предполагалось.

14 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / Классификация экономико- математических моделей По целевому назначению Теоретические Прикладные По степени агрегирования Макро- экономические Микро- экономические Нано- экономические

15 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / Классификация экономико- математических моделей По решаемым задачам Балансовые По учёту фактора времени Статические Динамические Эконометрические Оптимизационные Имитационные

16 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / Классификация экономико- математических моделей По отношению к процессу принятия решения Дескриптивные Нормативные По учёту фактора неопределённости Детермини- рованные Стохастические

17 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Методы теории систем Методы теории систем Системный анализ Системный анализ Синтетический метод Синтетический метод Методы математической статистики Методы математической статистики Дисперсионный анализ Дисперсионный анализ Корреляционный анализ Корреляционный анализ Регрессионный анализ Регрессионный анализ Факторный анализ Факторный анализ Кластерный анализ Кластерный анализ Теория индексов Теория индексов Методы исследования операций Математическое программирование линейное сепарабельное целочисленное дробно-линейное нелинейное динамическое параметрическое стохастическое Методы теории игр Методы теории расписаний Методы теории массового обслуживания Управление запасами Классификация математических методов, используемых для разработки и исследования ЭММ

18 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / Этапы экономико- математического моделирования 1. Изучение предметной области и определение целей исследования 2. Формулировка проблемы 3. Сбор данных(статистических, экспертных и прочих) 4. Построение математической модели 5. Выбор(или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задач 6. Численное решение модели отыскание оптимального решения отыскание оптимального решения параметрическая идентификация (оценивание) параметрическая идентификация (оценивание) вычислительный эксперимент вычислительный эксперимент 7. Анализ полученных результатов 8. Внедрение результатов на практике

19 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Примеры составления математической модели Пример 1. Управление портфелем активов. Рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные имена от А до F, задается следующей таблицей. Пример 1. Управление портфелем активов. Рассмотрим проблему принятия инвестором решения о вложении имеющегося у него капитала. Набор характеристик потенциальных объектов для инвестирования, имеющих условные имена от А до F, задается следующей таблицей. Название Доходнос ть(в%) Срок выпуска Надежно сть (в баллах) А5, В6, С8, D7, E5, F7,020034

20 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 При принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены условия: При принятии решения о приобретении активов должны быть соблюдены условия: a) суммарный объем капитала, который должен быть вложен, составляет $ ; b) доля средств, вложенная в один объект, не может превы­ шать четверти от всего объема; c) более половины всех средств должны быть вложены в дол­госрочные активы (допустим, на рассматриваемый момент к тако­вым относятся активы со сроком погашения после 2004 г.); d) доля активов, имеющих надежность менее чем 4 балла, не может превышать трети от суммарного объема. Решение: Решение: Определения структуры управляемых переменных. Определения структуры управляемых переменных. Это объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как х A, х B, х C, х D, х E, х F. Тогда суммарная прибыль от раз­мещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде Это объемы средств, вложенные в активы той или иной фирмы. Обозначим их как х A, х B, х C, х D, х E, х F. Тогда суммарная прибыль от раз­мещенных активов, которую получит инвестор, может быть представлена в виде (1) (1)

21 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Описать ограничения a-d на структуру портфеля. Описать ограничения a-d на структуру портфеля. a) Ограничение на суммарный объем активов: a) Ограничение на суммарный объем активов: xA + xB + xС + xD + xE + xF (2) xA + xB + xС + xD + xE + xF (2) b) Ограничение на размер доли каждого актива: b) Ограничение на размер доли каждого актива: хА , хВ , хС , хА , хВ , хС , xd , хе , xf (3) xd , хе , xf (3) c) Ограничение, связанное с необходимостью вкладывать половину средств в долгосрочные активы: c) Ограничение, связанное с необходимостью вкладывать половину средств в долгосрочные активы: хВ + хС (4) хВ + хС (4) d) Ограничение на долю ненадежных активов: d) Ограничение на долю ненадежных активов: xC + xD (5) xC + xD (5) Ограничений в соответствии с экономиче­ским смыслом задачи должна быть дополнена условиями неот­ рицательности для искомых переменных: Ограничений в соответствии с экономиче­ским смыслом задачи должна быть дополнена условиями неот­ рицательности для искомых переменных: хА 0, хB 0, хC 0, xD 0, хЕ 0, xF 0. (6) хА 0, хB 0, хC 0, xD 0, хЕ 0, xF 0. (6)

22 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Пример 2. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобрете­ния их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j-го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической при­былью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b. Пример 2. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобрете­ния их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j-го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической при­былью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

23 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завезти в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль р j, если же он не будет пользоваться спросом убыток q i. На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завезти в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль р j, если же он не будет пользоваться спросом убыток q i.

24 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13

25 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13

26 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Общая схема принятия решения. Виды и примеры экономических задач оптимизации и упражнения Вопросы: Вопросы: кто принимает решение? кто принимает решение? каковы цели принятия решения? каковы цели принятия решения? в чем состоит принятие решения? в чем состоит принятие решения? каково множество возможных вариантов достижения цели? каково множество возможных вариантов достижения цели? при каких условиях происходит принятие решения? при каких условиях происходит принятие решения?

27 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Общие обозначения N - множество всех принимающих решение сторон, N = {1, 2,..., n}, т. е. имеется всего п участников, идентифицируемых только номерами. N - множество всех принимающих решение сторон, N = {1, 2,..., n}, т. е. имеется всего п участников, идентифицируемых только номерами. Каждый элемент i называется лицом, принимающим решение (ЛПР) (например, отдель­ ная личность, фирма, плановый орган большого концерна, пра­вительства и др.). Каждый элемент i Є N называется лицом, принимающим решение (ЛПР) (например, отдель­ ная личность, фирма, плановый орган большого концерна, пра­вительства и др.). X1, X2,… Xn - множество всех допустимых решений (альтернатив, стратегий) каждого ЛПР предварительно изучено и описано математически X1, X2,… Xn - множество всех допустимых решений (альтернатив, стратегий) каждого ЛПР предварительно изучено и описано математически Каждое ЛПР выбирает конкретный элемент из своего допустимого множества решений: х 1 X 1 х 2 Х 2,..., х n Х n. х = (х 1,..., хn) - ситуацией. Каждое ЛПР выбирает конкретный элемент из своего допустимого множества решений: х 1 Є X 1 х 2 Є Х 2,..., х n Є Х n. х = (х 1,..., хn) - ситуацией.

28 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Cтроят функции f 1, f 2, f n (целевые функции или критерии качества) Cтроят функции f 1, f 2, f n (целевые функции или критерии качества) Каждой х ставятся числовые оценки f 1 {x),...,f n (x). Каждой х ставятся числовые оценки f 1 {x),...,f n (x). Тогда цель i-го ЛПР : Тогда цель i-го ЛПР : выбрать такое свое решение х i X i, чтобы в ситуации х= (х 1,..., х n ) число f i( x) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него за­висит частично ввиду наличия других сторон, влияющих на об­щую ситуацию х для достижения своих собственных целей. выбрать такое свое решение х i Є X i, чтобы в ситуации х= (х 1,..., х n ) число f i( x) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него за­висит частично ввиду наличия других сторон, влияющих на об­щую ситуацию х для достижения своих собственных целей.

29 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 математически описываются все те условия, при которых происходит принятие решения ( описание связей между управляемыми и неуправляемыми переменными, описание влияния случайных факторов, учет динамических ха­рактеристик и т. д. )Совокупность этих условий обозначается - математически описываются все те условия, при которых происходит принятие решения ( описание связей между управляемыми и неуправляемыми переменными, описание влияния случайных факторов, учет динамических ха­рактеристик и т. д. )Совокупность этих условий обозначается - Таким образом, общая схема задачи принятия решения может выглядеть так: Таким образом, общая схема задачи принятия решения может выглядеть так: {N; X 1, …., X n; f 1 (x),… f n (x); } {N; X 1, …., X n; f 1 (x),… f n (x); }

30 Сфера и границы применения ЭММ (с) Н.М. Светлов, / 13 Если в экстремальной задаче явно учитывается фактор вре­мени, то она называется задачей оптимального управления. Если в экстремальной задаче явно учитывается фактор вре­мени, то она называется задачей оптимального управления. Часто у ЛПР имеется не одна, а несколько целей. Такие задачи называются задачами многокритериальной оптимизации. Часто у ЛПР имеется не одна, а несколько целей. Такие задачи называются задачами многокритериальной оптимизации.