Кривые постоянной ширины Для определения ширины h замкнутой кривой рассмотрим две параллельные прямые, между которыми расположена данная кривая. Будем. - презентация

1 Кривые постоянной ширины Для определения ширины h замкнутой кривой рассмотрим две параллельные прямые, между которыми расположена данная кривая. Будем сдвигать друг к другу эти прямые до тех пор, пока они не коснутся кривой. Расстояние между полученными параллельными прямыми и будет шириной кривой в направлении перпендикулярном этим прямым. Для разных направлений ширина кривой может быть разной. Примером кривой одинаковой (постоянной) ширины по всем направлениям является окружность. Ее ширина равна диаметру. О кривых постоянной ширины рекомендуем посмотреть фильм на сайте

2 Треугольник Рело Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину? Оказывается, бывают. Примером такой кривой является кривая, придуманная французским ученым Ф. Рело (1829 – 1905), называемая «треугольник Рело». Для его построения рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной a. С центром в вершине A и радиусом a проведем дугу BC окружности. Аналогично, с центрами в вершинах B и C и радиусом A проведем дуги окружности AC и AB. В результате получим искомую кривую, состоящую из трех дуг окружности. Ее ширина равна стороне a правильного треугольника.

3 Упражнение 1 Докажите, что периметр треугольника Рело равен длине окружности, диаметр которой равен ширине треугольника Рело. Решение. Напомним, что длина дуги окружности с центральным углом φ и радиусом r равна φr. Так как треугольник Рело состоит из трех дуг окружностей, для которых r = a, φ = π/3, то их общая длина равна πr, т.е. равна длине окружности, диаметр которой равен ширине треугольника Рело.

4 Упражнение 2 Найдите углы треугольника Рело, образованные касательными к дугам окружностей в его вершинах. Ответ. 120 о.

5 Правильные многоугольники Рело Кривые постоянной ширины можно получать не только из правильного треугольника, но и из правильных многоугольников с нечетным числом сторон. На рисунке показаны такие кривые для правильных пятиугольника и семиугольника.

6 Упражнение 3 Сторона правильного пятиугольника равна 1. Найдите ширину соответствующего треугольника Рело. Ответ.

7 Упражнение 4 Найдите углы пятиугольника Рело, образованные касательными к дугам окружностей в его вершинах. Ответ. 144 о.

8 Неравносторонний треугольник Рассмотрим три прямые, попарно пересекающиеся в точках A, B, C. Обозначим стороны треугольника ABC соответственно a, b, c. На продолжении отрезка AB возьмем точку D 1. С центром в точке A и радиусом r = AD 1 проведем дугу окружности, соединяющую точку D 1 и точку D 2 на луче AC. Далее, с центром в точке С и радиусом CD 2 = r-b проведем дугу окружности, соединяющую точку D 2 и точку D 3 на луче BC. Затем, с центром в точке B и радиусом BD 3 = a+r-b проведем дугу окружности, соединяющую точку D 3 и точку D 4 на луче BA. C центром в точке A и радиусом AD 4 = a + r – b - c проведем дугу окружности, соединяющую точку D 4 и точку D 5 на луче CA. C центром в точке C и радиусом CD 5 = a + r - c проведем дугу окружности, соединяющую точку D 5 и точку D 6 на луче CB. C центром в точке B и радиусом BD 6 = r - c проведем дугу окружности, соединяющую точку D 6 и точку D 1 на луче AB. Получим замкнутую кривую.

9 Упражнение 5 Докажите, что полученная кривая имеет постоянную ширину. Найдите ее выражение через a, b, c и r. Решение. Через точку E 1 на дуге D 1 D 2 и точку A проведем прямую. Ее точку пересечения с дугой D 4 D 5 обозначим E 4. Касательные к кривой в точках E 1, E 4 будут перпендикулярны отрезку E 1 E 4. Следовательно, длина этого отрезка будет шириной кривой h в направлении прямой E 1 E 4, h = r + a + r – b - c = 2r + a – b – c. Ясно, что это значение не зависит от выбора точки E 1 на дуге D 1 D 2. Рассмотрим теперь точку E 2 на дуге D 2 D 3. Через нее и точку С проведем прямую. Ее точку пересечения с дугой D 5 D 6 обозначим E 5. Касательные к кривой в точках E 2, E 5 будут перпендикулярны отрезку E 2 E 5. Следовательно, длина этого отрезка будет шириной кривой в направлении прямой E 2 E 5. Она равна r – b + a + r - c = 2r + a – b – c = h. Ясно, что это значение не зависит от выбора точки E 2 на дуге D 2 D 3. Аналогичным образом показывается, что для точек E 3 дуги D 3 D 4 ширина кривой также будет равна 2r + a – b – c = h.

10 Упражнение 6 Докажите, что длина полученной кривой равна длине окружности с диаметром, равным ширине h кривой. Решение. Напомним, что длина l дуги окружности радиуса R и центральным углом φ выражается формулой l = φR. Пусть углы треугольника ABC равны соответственно α, β, γ. Тогда длина дуги D 1 D 2 αr, длина дуги D 4 D 5 равна α(a + r – b – c). Их сумма равна αh. Аналогично, сумма длин дуг D 2 D 3 и D 5 D 6 равна γh, сумма длин дуг D 3 D 4 и D 6 D 1 равна βh. Таким образом, длина всей кривой равна αh + βh + γh = (α + β + γ)h = πh, т.е. равна длине окружности с диаметром h.

11 Невыпуклый четырехугольник Рассмотрим четыре прямые, попарно пересекающиеся в точках A, B, C, D. Обозначим стороны четырехугольника ABCD соответственно a, b, c, d. Проведите дальнейшее построение кривой постоянной ширины самостоятельно, найдите ее ширину. Докажите, что ее длина равна длине окружности с диаметром, равным ширине h кривой. На продолжении отрезка AB возьмем точку E 1. С центром в точке A и радиусом r = AE 1 проведем дугу окружности, соединяющую точку E 1 и точку E 2 на луче AD. Ответ. Искомая кривая изображена на рисунке, где E 2 E 3 – дуга окружности с центром D и радиусом r – d, E 3 E 4 – дуга окружности с центром C и радиусом c + r – d, E 4 E 5 – дуга окружности с центром B и радиусом b + c + r – d, E 5 E 6 – дуга окружности с центром A и радиусом b + c + r – d – a, E 6 E 7 – дуга окружности с центром D и радиусом b + c + r – a, E 7 E 8 – дуга окружности с центром C и радиусом b + r – a, E 8 E 1 – дуга окружности с центром B и радиусом r – a. Ширина h кривой равна 2r + b + c – a – d.