Презентация обобщающего урока алгебры и начала анализа по теме: «Иррациональные уравнения» Ермилова Надежда Константиновна учитель высшей категории МБОУСОШ. - презентация

1 Презентация обобщающего урока алгебры и начала анализа по теме: «Иррациональные уравнения» Ермилова Надежда Константиновна учитель высшей категории МБОУСОШ 63 г. Тула

2 Применение знаний и способов решения иррациональных уравнений учащимися Разбор и обсуждение методов решения заданий учащимися. Нетрадиционные и оригинальные методы решения уравнений учащимися и учителем

3 Цель урока: обобщить знания по теме «Иррациональные уравнения» Задачи: Обучающие 1) обозначение и закрепление методов решения иррациональных уравнений; 2) ознакомление с новыми нестандартными методами решения иррациональных уравнений. Развивающие 1) развитие операций мышления (обобщения, анализа, выделение; 2) развитие внимания. Воспитательные 1) воспитание сознательного отношения к изучению алгебры; 2) воспитание стремления к самосовершенствованию.

4 Ход урока «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по – моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Эйнштейн «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по – моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Эйнштейн 1. Организационный момент

5 Иррациональное в переводе с греческого «уму непостижимое, неизмеримое, немыслимое» Открытие иррациональности опровергло теорию Пифагора, что «всё есть число». История развития теории иррациональности знает много учёных-исследователей. Назовём некоторых из них, отвечая на вопросы теории, которая является фундаментом для решения иррациональных уравнений.

6 Древнегреческий ученый-исследователь, который впервые доказал существование иррациональных чисел Ответьте на вопросы: 1. Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? 2. Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений. 3. Как называется знак корня? 4. Сколько решений имеет уравнение х 2 =а, если а >0? 5. Как называются уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная? 6. Как называется корень второй степени? пров е рка пров е рка подстано в ка ради к ал но л ь иррац и ональное ква д ратный 2. Повторение и обобщение изученного материала.

7 Кто впервые ввёл изображение корня? Ответьте на вопросы: 1. Сколько решений имеет уравнение х 2 =0. 2. Корень какой степени существует из любого числа? 3. Как называется корень третей степени? 4. Сколько решений имеет уравнение х 2 =а, если а >0? 5. Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? 6. Корень какой степени существует только из неотрицательного числа? о д но н е чётной к убический дв а посто р онний чё т ной

8 Кто ввёл современное изображение корня? Ответьте на вопросы: 1. Как называется равенство двух алгебраических выражений? 2. Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство 3. Какая черта личности поможет при решении иррациональных уравнений? 4. Какой должен быть взгляд на уравнения, что бы не вычисляя сказать ответ? 5. Как называют уравнения, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще? 6. Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное арифметическое действие? уравнение корень трудолюбие пристальный равносильные сопряженные

9 3. Основные методы решения иррациональных уравнений. Метод возведения в степень, равную показателю корня. Метод пристального взгляда. Метод введения новой переменной. Применение свойств функции: а) использование ООФ; б) использование монотонности функции Метод мажорант

10 1. Метод пристального взгляда Решить уравнения:

11 1. Решите уравнение: Решение. Введем обозначения: тогда 9-x=a 3, 7+x=b 3. Почленно сложим обе части уравнения: a 3 +b 3 =16. Имеем систему уравнений: Ответ: х=1. 2. Метод подстановки

12 2. Решите уравнение: Решение. Ответ: [2;5].

13 3. Применение свойств функции. а) использование области определения функции 1. Решите уравнение: Решение. Уравнение имеет смысл, если: Система решений не имеет. Поэтому и исходное уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.

14 2. Решите уравнение: Решение. Найдем область определения уравнения: Подставив эти значения в уравнение, убеждаемся, что они его удовлетворяют. Ответ: -9, 9.

15 б) Использование монотонности функции 1. Решите уравнение: Решение. ОДЗ: Пусть это возрастающая функция (т.е. каждое её слагаемое возрастающая функция). Найдем подбором корень х=1. В силу теоремы о корне имеем, что он единственный. Ответ: х=1.

16 2. Решите уравнение: Решение. Пусть - возрастающая функция (как сумма возрастающих функций). В правой части уравнения постоянная. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что х=2 – корень. Ответ: х=2.

17 Метод мажорант Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. (словарь) Метод мажорант – метод оценки левой и правой части уравнения. М – мажоранта. Если f(х) = g(х) и f(х) М и g(х) М, то М = f(х) и М = g(х).

18 Решите уравнение: Решение. ОДЗ: Рассмотрим правую часть уравнения. Введем функцию у(х)=х 2 -6 х+11. График функции парабола с вершиной А(3;2) и ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции у(3)=2, т.е. х 2 -6 х+112. Рассмотрим левую часть уравнения. Введем функцию С помощью производной найдем максимум функции, которая дифференцируема на

19 max g(x) x Решив первое уравнение системы, имеем х=3. Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что х=3 - решение системы. Ответ: х=3.

20 Самостоятельная работа Самостоятельная работа Тест Решите уравнения и запишите буквы, под которыми находятся интервалы, содержащие корни уравнений 1. а) [6;10]; б) [20; 27]; в) [11;18]; г) [30;+). 2. а) [20;25]; б) [1;6]; в) [10;16]; г) [17;18]. 3. а) [-5; -3]; б) (3; 4); в) [-2; 0]; г) (2; 3). 4. а) [2; 4]; б) (-5; 2) в) (4; 16) г)(- ; - 4). 5. а) (3; 5); б) [- 5; - 2]; в) (-2; 2]; г) (10; 70). 6. а) [0; 2]; б) (3; 81); в) (-5; -2); г) (-2; 0).

21 «Начала» Необходимость введения иррациональных чисел была описана в работе Евклида, по которой потом занимались все творцы современной математики: Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и Понтрягин.

22 Итог урока Для достижения духовного совершенства мы познаем мир. Мы изучаем теорию, методы решения иррациональных уравнений. Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна, иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы: Равноускоренное движение 1 и 2 космические скорости среднее значение скорости теплового движения молекул период радиоактивного полураспада статистика и другие.