Работу выполнила ученица 11 класса МОУ «Средняя общеобразовательная школа с.Симоновка Калининского района Саратовской области» Зайцева Юлия Валерьевна. - презентация

1 Работу выполнила ученица 11 класса МОУ «Средняя общеобразовательная школа с.Симоновка Калининского района Саратовской области» Зайцева Юлия Валерьевна Руководитель: учитель математики Карякина Людмила Павловна

2 Цель работы: Изучить новые свойства квадратичной функции, разобраться в них. Изучить новые свойства квадратичной функции, разобраться в них. Привести примеры их использования Привести примеры их использования

3 Рассматриваем параболу… Оказывается, это позволит нам получить массу информации. Очень многое мы уже знаем из курса алгебры 8 и 9 класса. А что нового мы можем узнать о параболе и свойствах квадратичной функции?

4 Есть одно любопытное свойство параболы, которого вы, может быть, не знаете, хотя часто им пользуетесь. Пусть парабола начнёт вращаться вокруг оси ординат. Получится что-то вроде чаши, только, чтобы она не была бесконечной, отрежем часть её плоскостью, перпендикулярной оси ординат. Образуется фигура, которая называется параболоидом.

5 А если сделать внутреннюю поверхность параболоида зеркальной и направить поток света по направлению оси ординат, то все лучи света соберутся в одной точке, которую, как вы, наверное, уже догадались, называют фокусом. Если в фокусе поставить источник света, например электрическую лампочку, то получится самая обыкновенная фара, или прожектор, или часть карманного фонарика. А если сделать внутреннюю поверхность параболоида зеркальной и направить поток света по направлению оси ординат, то все лучи света соберутся в одной точке, которую, как вы, наверное, уже догадались, называют фокусом. Если в фокусе поставить источник света, например электрическую лампочку, то получится самая обыкновенная фара, или прожектор, или часть карманного фонарика.

6 Хотите увидеть параболоид вращения? Налейте в стакан воды и размешайте ее ложечкой. Когда на ложечку вынете, поверхность воды примет форму параболоида вращения.

7 Теперь серьезнее, пусть это будет наше маленькое математическое исследование, будем изучать новые свойства квадратичной функции. Рассмотрим расположение корней квадратного уравнения. Попробуем ответить на такие вопросы:

8 При каких значениях параметра а оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M)? При каких значениях параметра а оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M (т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка M)?

9 Возможны два случая: xx y xx y а>0 a

10 Случай а>0 Подумайте, что можно сказать о дискриминанте D>0, т.к. парабола в двух точках пересекает ось х

11 Случай а>0 Подумайте, что можно сказать о f(M)? Очевидно,f(M)>0

12 Случай а>0 М х х

13 Итак, получили систему Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М( т.е. лежали на числовой оси левее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий

14 Случай a0 т.к., парабола имеет две точки пересечения с осью X

15 Подумайте, что можно сказать о f(M): Очевидно, что f(М)

16 Сравните М и абсциссу вершины параболы Сравните М и абсциссу вершины параболы. М > М

17 Итак, получим

18 Сравниваем две полученные системы и составляем универсальную систему для обоих случаев. В результате получили теорему: оба корня квадратного уравнения меньше заданного числа М, если ( и только если) имеет место система

19 Теперь ответим на такой вопрос При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения больше некоторого числа М?

20 Если мы будем рассуждать аналогично, то получим: М а>0 а

21 Оба корня квадратного уравнения ах 2 +вх +с =0 больше заданного числа М если имеет место эта система

22 При каких значениях параметра а заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения? М х 1 х 1 х 2 х 2 М х 2 х 2 х 1 х 1

23 Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения ах 2 +вх+с=0 если имеет место эта система. Попробуйте доказать это самостоятельно. У меня получилось, думаю, и у вас по получится.

24 Подумайте: Почему требование D>0 вовсе необязательно в этой теореме? Догадались? Потому, что сам вопрос предполагает наличие корней, причем – двух. Иначе: между… чем?

25 И в заключении (только не торопитесь, еще не все) Эти свойства не изучаются на уроках алгебры, так как они довольно трудные. Признаюсь, что мне тоже было сложно в этом разобраться. Я рада, что у меня это получилось, думаю, что и вам будет интересно в этом разобраться! примеры Если устали, отдохните!

26 Но это еще не все Вот примеры задач, где эти свойства используются. 1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения лежат по разные стороны от числа 2? Пример 1

27 Решение. Рассмотрим функцию f(2)

28 Пример 2 Найти все значения параметра а, у которых оба корня квадратного уравнения меньше -1

29 Решение. Рассмотрим функцию Решаем первое неравенство системы: Ответ:

30 Используемые ресурсы Л.Ф. Пичурин « За страницами учебника алгебры» Математика 9-11 классы. Проектная деятельность учащихся. Автор- составитель М.В. Величко html и все-таки – отдохни!