Рассмотрим функцию y = f(x) с областью определения D R. Определение предела функции по Коши: число А называется пределом функции f в точке x 0, если она. - презентация

1 Рассмотрим функцию y = f(x) с областью определения D R. Определение предела функции по Коши: число А называется пределом функции f в точке x 0, если она определена в некоторой окрестности точки х 0, за исключением, быть может, самой точки х 0, и для сколь угодно малого >0 можно указать такое = (, х 0 )>0, что для всех х для которых х-х 0

2 Геометрическая интерпретация определения предела функции y = f (x) в точке x 0 : число А называется пределом функции f в точке x 0, если для любой -окрестности U (A) точки А найдется такая -окрестность точки x 0, что для всех соответствующие значения f(x) принадлежат окрестности U (A).

3 Для вычисления пределов необходимо знать следующие соотношения: Неопределенности, требующие своего раскрытия:

4 Пример: найти

5

6

7 4.2 Односторонние пределы и предел функции в бесконечности Назовем левой полуокрестностью точки х 0 произвольный интервал (a, x 0 ), a b. Левосторонний предел: Правосторонний предел:

8 Теорема 1: Для того, чтобы функция f имела в точке х 0 предел равный А, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали односторонние пределы равные А. Замечание: Если односторонние пределы функции в точке х 0 существуют и различны, то функция не имеет предела в точке х 0. Пример: Найти предел функции f(x) = в точке х 0 =0. Следовательно в точке х 0 =0 предел функции f(x) не существует.

9 Пределом функции f при х + (- ) называется число А, удовлетворяющее условию: Геометрический смысл: для значений х U (+ ) (U (- )) соответствующие значения f(x) попадают в окрестность U (А), если

10 Пример: найти

11 1. если функция имеет в точке предел, то он единственен; Функция f(x) называется ограниченной в области D, если существует число С>0, такое, что f(x) С, х D. 2. функция, имеющая предел в точке, ограничена в некоторой проколотой окрестности этой точки; 4.3 Свойства функций, имеющих предел 3. если

12 4.4 Первый и второй замечательные пределы – первый замечательный предел замечательный предел. Широко используются следующие пределы: Число е называется «экспонентой». – второй

13 Пример: найти

14

15