Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между. - презентация

1 Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2 Дано: АВС Доказать: a = b + c –2bc*cosA

3 А С В

4 Доказательство: Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А.

5 А С В (bcosA; bsinA) у х (с; 0) b a c (0;0)

6 Доказательство: Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, АС = b. Введем систему координат с началом в точке А. Тогда В (с; 0), С (bcosA; bsinA). Найдем расстояние ВС: ВС = а = (bcosA – c) + b sin A = b cos A + b sin A - 2bc cosA + c = b + c - 2bc cosA ЧТД

7 Выразим косинус угла из теоремы косинусов

8 2. Сформулируйте основные задачи на решение треугольников В А С b а 1) γ По двум сторонам и углу между ними 1. Что значит «решить треугольник» ? 3. Используя рисунки, составьте план решения задач Найти: АВ, А, В

9 В А С b 2)2) α γ По стороне и двум прилежащим к ней углам с В А С b а 3)3) По трем сторонам Найти: А, В, С Найти: В, АВ, ВС

10 Задача о футболисте. Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м. С α 23 м 24 м 7 м В А

11 Математическая модель задачи В А α 23 м 24 м С 7 м Решим треугольник АВС (задача 1) и найдем угол А, равный α. По теореме косинусов определим cos A Угол α находим по таблице: α Угол α находим по таблице: α 16 57