Леммы Результаты 1)Доказана теорема 1.6 и тщательно изучен ее частный случай. 2)Доказано, что центр перспективы полярного и изначального треугольника является. - презентация

1 Леммы Результаты 1)Доказана теорема 1.6 и тщательно изучен ее частный случай. 2)Доказано, что центр перспективы полярного и изначального треугольника является точкой пересечения осей перспектив каждого из чевианных треугольников и данного. 3)Доказана лемма 1, которая может быть использована в дальнейшем при поиске ГМТ точки. Лемма 1 Лемма 2 Краткое изложение работы В первой конструкции ( Галстук ) найдено множество новых «замечательных» точек треугольника и установлены связи между ними. Во второй же конструкции ( Два чевианных треугольника ) были найдены центр и ось перспективы данного треугольника и любого для него «полярного».. Лемма 3 Коника проходит через точки A, B, C, D, E. Через точку E проведены прямы е l 1, l 2, l 3. AC пересекает l 1 в точке C 1, BC пересекает l 2 в точке C 2. Аналогично определяются точки D 1 и D 2 для точки D. На прямой l 3 лежит точка E'. E'D 1 пересекает C 1 C 2 в точке A', E'D 2 пересекает C 1 C 2 в точке B'. На прямой l 3 произвольно выбирается точка S. SA' пересекает l 1 в точке S A, SB' пересекает l 2 в точке S B. Тогда AS A и BS B пересекаются на конике через точки. Для любых пяти точек плоскости A, B, C, P и Q шестиугольник, образованный прямыми AP, BP, CP, AQ, BQ и CQ, описанный. A P B P C P – чевианный треугольник для точки P и треугольника ABC. Прямая, проходящая через A, пересекает A P B P в точке B, A P C P в точке C и прямую BC в точке L. Тогда четверка C, A, B, L – гармоническая. Галстук (Теорема 1.1) В треугольнике ABC прямые AP, BP и CP пересекают стороны BC, AC, AB в точках A P, B P, C P соответственно, где P произвольная точка плоскости. На этих прямых через P произвольным образом выбраны соответственно точки A 1, B 1, C 1. A 1 B P пересекает B 1 A P в точке W C, аналогично определяются точки W A и W B. Тогда AW A, BW B и CW C пересекаются в некоторой точке W. Теорема 1.2 B' P - произвольная точка прямой AP. Определим для B' P точки W A и W' C так же, как в теореме 1.1. AW A и CW' C пересекаются в точке N. Тогда A, B, C, W, B 1 и N лежат на одной конике. Теорема 1.3 WA 1 пересекает BC в точке T A. Аналогично определяются точки T B, T C. Тогда AT A, BT B, CT C пересекаются в некоторой точке T. W A P пересекает BC в точке G A. Аналогично определяются точки G B и G C. Тогда AG A, BG B и CG C пересекаются в некоторой точке G. Теорема 1.4Теорема 1.5 A, B, C, P, G и T лежат на одной конике. Обобщенная теорема о галстуке (1.6) В треугольнике ABC на прямых AP, BP и CP выбраны произвольным образом соответственно точки A 1, B 1, C 1, где P произвольная точка плоскости. Через произвольную точку Q провели прямые QA 1, QB 1 и QC 1, пересекающие BC, AC, AB соответственно в точках A Q, B Q, C Q. Прямые A Q B 1 и B Q A 1 пересекаются в точке W C. Аналогично определяются точки W A, W B. Тогда AW A, BW B, CW C пересекаются в некоторой точке W. Два чевианных треугольника. В треугольнике ABC прямые AP, BP, CP пересекают прямые BC, AC, AB соответственно в точках A P, B P, C P, так же определяются точки A E, B E, C E, где E и P произвольные точки плоскости. A P B P пересекает A E B E в точке O C, аналогично определяются точки O A и O B. Докажите, что AO A, BO B, CO C пересекаются в некоторой точке O. Теорема 2.1 Теорема 2.2 Треугольники ABC и A E B E C E перспективны, и центр этой перспективы лежит на оси перспективы ABC и O A O B O C. Докладчик: Крутовский Роман Гимназия 1514, 10 класс План дальнейших исследований 1)Доказать, что точки A, B, C, G, W и R лежат на одной конике (в условиях теоремы о галстуке) 2)Изучить конструкцию чевианного треугольника чевианного треугольника данного треугольника(см. А.В. Акопян «Геометрия в картинках», задача 7.11) 3)Попытаться обобщить теоремы в условиях теоремы 1.6. В будущем я рассчитываю: