Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики Аппроксимация. - презентация

1 Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики Аппроксимация

2 Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛАУ): m - количество уравнений n - количество неизвестных x 1, x 2, …, x n - неизвестные, которые надо определить a 11, a 12, …, a mn - коэффициенты системы b 1, b 2, … b m - свободные члены (известны) 2

3 СЛАУ в матричной форме A - матрица системы X - столбец неизвестных B - столбец свободных членов Система СЛАУ называется: квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных однородной, если все её свободные члены равны нулю ( b 1 =b 2 = … =b m =0 ) неоднородной если не все свободные члены равны нулю совместной, если она имеет хотя бы одно решение несовместной, если у неё нет ни одного решения определённой, если она имеет единственное решение неопределённой, если у неё есть хотя бы два различных решения переопределённой, если уравнений больше, чем неизвестных 3

4 Методы решений СЛАУ Если матрица системы квадратная, и ее определитель 0: Метод Крамера – вычисление определителей матрицы Метод Гаусса – последовательное исключение переменных Матричный метод – метод решения через обратную матрицу Для переопределенных СЛАУ (количество уравнений больше количества неизвестных, т.е. m > n ) система не имеет единственного точного решения, но можно найти «оптимальный» вектор X Метод наименьших квадратов (МНК) 4

5 Аппроксимация данных Имеется набор экспериментальных данных y i, x i Задача: аппроксимировать экспериментальные данные некоторой функцией f (x i ) например Составим систему линейных уравнений: 5 f1f1 x1x1 f2f2 x2x2 …… fifi xixi …… fnfn xnxn

6 Метод наименьших квадратов (МНК) Коэффициенты аппроксимирующей функции вычисляются таким образом, чтобы среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных от найденной аппроксимирующей функции было наименьшим В матричной форме: Метод наименьших квадратов: 6

7 Аппроксимация зависимости n(λ) Дисперсионная формула - это аппроксимация, позволяющая описывать зависимость показателя преломления от длины волны n(λ) Для каждой оптической среды определяется набор коэффициентов, значения которых позволяют восстанавливать показатель преломления 7 Пример графика дисперсии для стекла К8

8 Дисперсионные формулы Формула Герцбергера Формула Зелмейера Формула Шотта Формула Резника 8

9 Аппроксимация по формуле Герцбергера Система уравнений в матричном виде – известные показатели преломления для длин волн для вычислений достаточно шести известных значений n, но для повышения точности вычисления можно взять больше m – количество известных показателей преломления ( m 6 ) – параметры уравнения Герцбергера 9

10 Матрица весов Для учета погрешности умножаем обе части уравнения на диагональную матрицу весов: элементы матрицы пропорциональны корню квадратному из погрешностей соответствующих показателей 10 Длины волн Спектральные линии Весовой коэффициент 365,01 нм, 404,66 нм i h 1 434, ,28 нм G g F e d D C ,4 мкм 1 1,5 - 2,6 мкм 0,1

11 Метод наименьших квадратов Решение системы уравнений при помощи метода наименьших квадратов: 11

12 Лабораторная работа 4 По формуле Герцбергера рассчитать показатель преломления стекла n λ для трех длин волн Реализовать возможность расчета произвольного показателя преломления для длин волн от 0.3 до 2 мкм результат расчета для стандартных длин волн можно проверить в каталоге стекла GlassBank ( вследствие округления точные значения рассчитанных показателей преломления могут варьироваться в пределах 4-5 знака после запятой Для работы с матрицами воспользоваться библиотекой Boost::uBLAS Задание оценивается в баллах: 8 баллов - выполнение работы + 1 балл - выполнение работы в срок + 2 балла - первому кто сдаст отчет 12