Лекция 2 Системы счисления. 2.1 Системы счисления. «Золотые стихи пифагорийцев.» " Все есть число ", говорили ученики древнегреческого математика Пифагора. - презентация

1 Лекция 2 Системы счисления

2 2.1 Системы счисления. «Золотые стихи пифагорийцев.» " Все есть число ", говорили ученики древнегреческого математика Пифагора.

3 Систе́ма счисле́ния это способ записи чисел по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на две большие группы : 1) позиционные ( мультипликативные ), 2) непозиционные ( аддитивные ).

4 Основание системы счисления – это число, на основе которого ведётся счет : 2,3,8,10,

5 Развернутая форма записи числа в позиционной системе счисления = 3*1+3*10+3*100+3*1000 = 3* * * *10 3 Пусть a - основание системы счисления ; x 0, x 1, x 2, …, x n – некоторый алфавит, то каноническая форма записи числа : x n x n-1 …x 1 x 0 = = x 0 *a 0 +x 1 *a 1 + …+ x n-1 *a n-1 + x n *a n

6 2.2. Непозиционные системы счисления Единичная система счисления У первобытных людей не было даже чисел, они количество предметов отображали равным количеством каких - либо значков. Такими значками могли быть зарубки, черточки, точки, а так же узелки на веревках.

7 На каком курсе учатся курсанты училища железнодорожных войск ?

8 Римская пятеричная I1 V5 X10 L50 C100 D500 M Непозиционные системы счисления.

9 Пример : Расшифруйте надпись. «PETRO primo CATHARINA secunda MDCCLXXXII»

10 В Санкт - Петербурге стоит памятник Петру I. На гранитном постаменте памятника есть римское число : MDCCLXXXII = * = 1782 год. Это год открытия памятника.

11 Славянская кириллическая десятеричная алфавитная Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке Непозиционные системы счисления.

12 До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

13 Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение :

14 Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке. Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа. Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.

15 2.3. Позиционные системы счисления Древнекитайская десятеричная.

16 В древнекитайская десятеричной системе, числа записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого - то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду.

17 История « арабских » чисел. Примерно во II веке до н. э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие астрономы ( например, Клавдий Птолемей ). Они переняли их позиционную систему счисления, но целые числа они записывали не с помощью клиньев, а в своей алфавитной нумерации, а дроби в вавилонской шестидесятеричной системой счисления. Но для обозначения нулевого значения разряда греческие астрономы стали использовать символ "0" ( первая буква греческого слова Ouden - ничто ). Птолемей (Ptolemáios) Клавдий

18 . Блестящая работа индийских математиков была воспринята арабскими математиками и Аль-Хорезми в IX веке написал книгу "Индийское искусство счета", в которой описывает десятичную позиционную систему счисления.

19 . В XII в. Хуан из Севильи перевел на латынь книгу "Индийское искусство счета", и индийская система счета широко распространилась по всей Европе. А так как труд Аль-Хорезми был написан арабском языке, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название - "арабская". Но сами арабы именуют цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе - индийским счетом.

20

21

22 2.4. « Машинные » системы счисления. 1. Двоичная 2. Восьмеричная 3. Шестнадцатеричная

23 Двоичная система счисления. Основание : 2, Алфавит : 0, 1 « Чтобы вывести из ничтожества всё, достаточно единицы » = 0* * * * * *2 5 = = = 38 = 38 10

24 Расшифруете : Еще в младших классах он проявлял себя весьма смышленым ребёнком. С задачами, которые сверстники решали полчаса, он справлялся за какие - то минут. Одарённый недюжинным умом и неиссякаемой энергией он закончил вуз за 11 лет, и в возрасте лет возглавил научно - исследовательскую лабораторию.

25 101 2 =1* * *2 2 = = 0* * *2 2 = = 1* *2 1 = = 0* * * * *2 4 =

26 Восьмеричная система счисления. Основание: 8, Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6, = 3* * *8 2 = = =123 10

27 Какая система счисления была принята на Пандоре ?

28 Шестнадцатеричная система счисления. Основание 16. Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. A0F9 = A0F9 16 = 9* F* * A*16 3 = 9* * * *16 3 =

29 2.5. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Правила перевода целых чисел Из десятичной системы счисления - в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную ( общий алгоритм ): 1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (2, 8 или 16) до тех пор, пока не получим частное, меньшее, чем основание системы счисления. 2. Получить искомое двоичное, восьмеричное или шестнадцатеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности. (… И последние будут первыми …)

30 Проверка : = = Пример 1. Выполнить перевод числа в двоичную систему счисления:

31 Пример 2. Перевести в восьмеричную систему исчисления : Проверка : = = =259

32 Пример 3. Выполнить перевод числа 19 в шестнадцатеричную систему счисления: Проверка: = = 3+16=19

33 Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и обратно проще проводить с помощью программы Калькулятор ( инженерный ). При работе с целыми числами программа Калькулятор позволяет использовать не только стандартную десятичную, но и « компьютерные » системы счисления : двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Выбор системы счисления производится при помощи установки переключателя (Hex шестнадцатеричная, Dec десятичная, Oct - восьмеричная, Bin двоичная система счисления ). При изменении системы счисления число на индикаторе преобразуется автоматически.

34 Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления : ( Алгоритм перевода дробных десятичных чисел в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления ) Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы счисления до тех пор, не получим нулевую дробную часть ( или не будет достигнута требуемая точность вычислений ). Получить искомую двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности. Правила перевода дробей.

35 0, = ? 2

36

37 Перевод дробей в десятичную систему счисления :