Раздел геометрии, изучающий свойства фигур и тел, которые не изменяются при их непрерывных деформациях ( растяжениях, сжатиях), как если бы они были сделаны. - презентация

1 раздел геометрии, изучающий свойства фигур и тел, которые не изменяются при их непрерывных деформациях ( растяжениях, сжатиях), как если бы они были сделаны из резины. ТОПОЛОГИЯ – раздел геометрии, изучающий свойства фигур и тел, которые не изменяются при их непрерывных деформациях ( растяжениях, сжатиях), как если бы они были сделаны из резины.

2 Рассмотрите фигуры. Представьте, что все они сделаны из проволоки, которую можно сгибать и разгибать, но нельзя разрезать и склеивать. Первая фигура может быть преобразована во вторую и третью и обратно. А как из первой фигуры получить четвертую? А А В топологии 1,2,3 фигуры считаются топологически равными. В В А А В В С D

3 Как из четвертой фигуры можно получить пятую? Равны ли они топологически? 4 5 А В А В C D M K C M K D

4 Какие фигуры на рисунке топологически равные? А В А В А В А В 4 А В 6 А В С М К Р С М 5

5 Самым известным объектом топологии является ЛИСТ МЕБИУСА

6 Мебиус Август Фердинанд Таинственный и знаменитый лист Мебиуса открыл в 1858 г. немецкий геометр Август Мебиус, ученик «короля математики» Гаусса. Директор Лейпцигской астрономической обсерватории, А.Мебиус был разносторонним ученым. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а должность в обсерватории давала достаточно денег, чтобы не думать о них и оставляла время для размышлений. И Мебиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Он открыл односторонние поверхности, одна из которых – лист Мебиуса. Мебиус является одним из основателей современной топологии.

7 Свойство односторонности листа Мебиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мебиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это дает ощутимую экономию.

8 Проблема четырех красок В 1850 году шотландский физик Фредерик Гутри обратил внимание на то, что задачи раскрашивания карт очень популярны среди студентов-математиков в Лондоне, а сформулировал проблему четырех красок его брат Фрэнсис Гутри, который, раскрасив карту графств Англии четырьмя красками, выдвинул гипотезу о том, что этого количества красок достаточно для раскраски любой карты. Он привлек к проблеме внимание своего преподавателя математики А. Де Моргана, а тот сообщил о ней своему другу В. Гамильтону и тем самым способствовал ее широкому распространению.

9 Проблема четырех красок Годом рождения проблемы четырех красок считается 1878 год (в некоторых изданиях указывается 1879). Именно тогда на одном из заседаний Британского географического общества выдающийся английский математик А.Кэли четко сформулировал поставленную задачу: "Доказать, что любую географическую карту на плоскости (или на глобусе) можно правильно закрасить четырьмя красками". Раскраска карты называется правильной, если любые две страны, имеющие на карте общую границу, окрашены в различные цвета. Именно с этого момента проблема привлекла к себе внимание многих крупных математиков.

10 Проблема четырех красок В 1890 году английский математик П. Хивуд доказал, что любую карту на плоскости можно раскрасить пятью красками. Однако долгое время проблема четырех красок не поддавалась решению. В 1968 году американские математики Оре и Стемпл показали, что любую карту, имеющую не более 40 стран, можно раскрасить четырьмя красками. В 1976 году американскими учеными К. Аппелем и В. Хакеном было получено решение проблемы четырех красок. С помощью компьютера они просматривали различные типы карт, и для каждого из них компьютер решал, может ли в данном типе найтись карта, которая не раскрашивается четырьмя красками. Было просмотрено почти 2000 типов карт, и для всех был получен ответ: "Нет", - что и позволило объявить о компьютерном решении проблемы четырех красок.

11 Что такое «карта»? Многоугольной картой на плоскости будем называть разбиение многоугольника на более мелкие многоугольники, получающиеся добавлением новых вершин и сторон внутри данного многоугольника, причем любые два новых многоугольника или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие стороны. Многоугольники называются странами, а их стороны – границами.

12 Что такое «карта»? Иногда к многоугольной карте в качестве дополнительных стран присоединяют одну или несколько внешних бесконечных областей плоскости, ограниченных сторонами исходного многоугольника и лучами. Пример такой карты приведен на рисунке. Новые страны помечены цифрами 1, 2, 3, 4.

13 Что такое «карта»? Рассматриваются также карты, составленные из многоугольников, заполняющих всю плоскость. Как и раньше требуется, чтобы любые два многоугольника или не имели общих точек, или имели общие вершины, или имели общие стороны. Примеры таких карт дают паркеты, некоторые из которых представлены на рисунке.

14 Что такое «карта»? Заметим, что для задачи раскрашивания карты неважно, какими являются границы стран, прямыми или нет. Карту можно немного растягивать, сжимать, искривлять стороны, и при этом число красок, необходимых для ее правильного раскрашивания, не изменится. Мы будем рассматривать и такие карты. На рисунке показана многоугольная карта и карта, полученная из нее искривлением сторон.

15 Что такое «карта»? Помимо плоскости, карты рассматривают и на других поверхностях, например, на сфере. Поверхность многогранника можно рассматривать как карту, странами которой являются грани многогранника, а границами – его ребра.

16 Упражнение 1 Сколько красок требуется для правильной раскраски карты, изображенной на рисунке? Ответ: 2.

17 Упражнение 2 Сколько красок требуется для правильной раскраски карт, изображенных на рисунке? Ответ: а) 3; б) 4.