Лекция 3 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ПОСТОЯННУЮ НАГРУЗКУ. - презентация

1 Лекция 3 МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ПОСТОЯННУЮ НАГРУЗКУ

2 Решение задачи определения напряженно-деформированного состояния (НДС) сооружения состоит из следующих частей: определение напряжений; определение опорных реакций и внутренних усилий; определение перемещений и деформаций. При этом должны быть известны геометрические размеры и формы элементов сооружения, физические характеристики материала, внешняя нагрузка и особенности ее воздействия. Расчет статически определимых систем является самой простой задачей, решаемой в строительной механике. Статически определимой системой (СОС) называется система, внутренние усилия которой можно определять только из уравнений статики. Особенности СОС: их внутренние усилия не зависят от упругих характеристик материала, форм сечений и площадей элементов; воздействие температуры, осадки опор, неточность изготовления элементов не вызывают внутренних усилий; если нет внешних нагрузок, все внутренние усилия равны нулю.

3 1. Определение опорных реакций Сооружение, воспринимая внешнюю нагрузку, через свои элементы передает ее опорам, а в них возникают опорные реакции. При определении опорных реакций используется принцип освобождения от связей: всякое тело можно освободить от связей, заменив их реакциями. После этого из уравнений равновесия можно определять величины опорных реакций. Уравнения равновесия плоской системы пишутся в трех формах: 1) X = 0, Y = 0, M A = 0 ( X и Y – суммы проекций сил на взаимно-пересекающиеся оси x и y, M A – сумма моментов всех сил относительно любой точка A); 2) X = 0, M A = 0, M B = 0 (точки A и B не должны лежать на одном перпендикуляре к оси x ); 3) M A = 0, M B = 0, M C = 0 (точки А, В, С не должны лежать на одной прямой).

4 В элементах плоской стержневой системы возникают три внутренних усилия: 2. Внутренние усилия стержневой системы N продольная сила, Q поперечная сила, M изгибающий момент. 1) эпюра M изображается на стороне растянутого волокна. Ее знак обычно не устанавливается; 2) поперечная сила положительна, если вращает элемент по часовой стрелке, и отрицательна, если вращает элемент против часовой стрелки; 3) продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его. В строительной механике используется следующее правило знаков внутренних усилий: Внутренние усилия вычисляются по формулам:

5 Между Q и Q существует дифференциальная зависимость (формула Журавского): Для определения знака Q по M ось эпюры M нужно повернуть до совпадения с ее касательной. Если поворот будет по часовой стрелке, Q берется со знаком «+», а если против часовой стрелки, то со знаком «–». Эпюры поперечных сил Q и продольных сил N можно изображать на любой стороне от оси стержня со своими знаком. Но эпюру изгибающего момента M нужно обязательно изображать на стороне растянутого волокна.

6 3. Методы определения внутренних усилий Внутренние усилия определяются методами простых сечений, совместных сечений, вырезания узла и замены связей Метод простых сечений Этот метод позволяет рассматривать внутреннее усилие как внешнюю силу и определять его из уравнений статики (равновесия): Алгоритм метода простых сечений: 1) поделить систему на участки; 2) выбрать участок и провести поперечное сечение; 3) выбрать одну (наиболее простую) отсеченную часть; 4) составить три уравнения равновесия; 5) из них определить внутренние усилия M, Q, N; 6) для данного участка построить эпюры M, Q, N; 7) повторить пункты 2-6 для остальных участков.

7 3.2. Метод совместных сечений Используется при расчете многодисковых систем. Например, при расчете трехдисковой рамы проводятся три сечения I, II, III. Составив для каждого диска по три уравнения равновесия, из 9 уравнений определяются девять неизвестных реакций: опорные реакции R 1, R 2, H и междисковые реакции X 1, X 2, X 3, Y 1, Y 2, Y 3. Алгоритм метода совместных сечений: 1) совместными сечениями разделить систему на части (диски); 2) обозначить опорные и междисковые реакции; 3) для каждого диска записать уравнения равновесия; 4) решить систему полученных уравнений и определить реакции; 5) каждый диск рассчитать отдельно и построить эпюры; 6) объединить все эпюры в общие эпюры M, Q, N.

8 3.3. Метод вырезания узла Используется для определения усилий простых систем. Его сущность: вырезается узел с не более чем двумя неизвестными усилиями; силы, действующие в узле проецируются на две оси; из этих уравнений определяются искомые усилия. Рассмотрим пример: После определения опорных реакций вырезается узел А и составляются уравнения равновесия: X = N 2 cos45– N 1 cos45= 0, Y = N 1 sin45+ N 2 sin45+ P/2 = 0. Из них определяются искомые продольные силы:

9 3.4. Метод замены связей Используется при расчете сложных статически определимых систем, которые трудно рассчитать другими способами. Его сущность: сложная система превращается в более простую путем перестановки одной связи в другое место; из условия эквивалентности заданной и заменяющей систем определяется усилие в переставленной связи; затем система рассчитывается известными способами. Например, для расчета следующей рамы в заданной системе ЗС удалим правый вертикальный стержень и введем связь в левый шарнир. Тогда вместо шарнира получим припайку С, а стержни будут жестко связаны. Обозначив усилие в удаленной связи через X, получим основную систему ОС :

10 Предыдущее уравнение примет вид: X + M C,P =0, где =1 a = a – момент в точке С в единичном состоянии, M C,P =qa 2 /2 – момент в точке С в грузовом состоянии. Тогда неизвестное усилие будет: X= –M C,P / = – qa/2. Условие эквивалентности заданной (ЗС) и основной (ОС) систем: M C =0. По принципу суперпозиции имеем: M C =M C,X + M C,P =0. Теперь рассмотрим два состояния основной системы: 1) единичное состояние (ЕС) прикладывается сила X=1 ; 2) грузовое состояние (ГС) прикладывается нагрузка: После этого можно перейти к расчету более простой системы:

11 В более сложных случаях переставляются несколько связей и записываются столько же условий эквивалентности: s 11 X 1 + s 12 X s 1n X n + S 1P =0, s 21 X 1 + s 22 X s 2n X n + S 2P =0, s n1 X 1 + s n2 X s nn X n + S nP =0. Здесь 1, 2,, n – заменяемые связи; X 1, X 2,, X n – неизвестные внутренние усилия в этих связях. Из этой системы уравнений определяются неизвестные силы. Общий вывод. Расчет любой статически определимой системы приводит к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. Если определитель полученной системы уравнений отличен от нуля (det 0), внутренние усилия будут конечными величинами. Если же определитель равняется нулю (det=0), то внутренние усилия определить нельзя. В этом случае данная система мгновенно изменяема.