Различные виды уравнения прямой презентацию подготовила ученица 7 «Б» класса МОУ «Гимназия 1» Распарина Ольга. - презентация

1 Различные виды уравнения прямой презентацию подготовила ученица 7 «Б» класса МОУ «Гимназия 1» Распарина Ольга

2 Общее уравнение прямой Уравнение Ax+By+C=0 (где A, B и C могут принимать любые значения, лишь бы коэффициенты A, B не были равны нулю оба сразу) представляет прямую линию. Всякую прямую можно представить уравнением этого вида. Поэтому его называют общим уравнением прямой.

3 Ах+Ву+С=0 1) Если A=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Ох (у 1) Если A=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Ох (у= ). Пример 1. Графиком уравнения у=-10 является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;-10). Графиком уравнения у=-10 является прямая, параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;-10). О -10 ху

4 Ах+Ву+С=0 2) Если В=0, то уравнение представляет прямую, параллельную оси Оу (х= ).. Пример 2. Графиком уравнения х=6 является прямая, параллельная оси Оу и проходящая через точку (6;0). О 6ух

5 Ах+Ву+С=0 3) Когда В=0, то у= Уравнение у=кх+m, где к=,, а m= называется уравнением прямой с угловым коэффициентом к. 4) Если С=0, то есть уравнение Ах+Ву+С=0 не содержит свободного члена, то оно представляет прямую, проходящую через начало координат.

6 Ах+Ву+С=0 (у=, то есть у=кх – где к – угловой коэффициент прямой. Ясно, что к= где Х0 и У0 координаты произвольной точки прямой, Х0=0). х у у0у0у0у0 х0х0х0х

7 Пример 3. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Решение. Так как прямая проходит через начало координат, то она задается уравнением у=кх. Определим угловой коэффициент этой прямой. Возьмем к примеру точку А этой прямой, тогда к=, то есть к=. Значит, к=-2 и уравнение данной прямой имеет вид: у=-2х. 0 у х 1 1 А 2

8 Пример 4. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Данная прямая получена из прямой у=кх смещением последней на 3 ед. отрезка вверх вдоль оси Оу. Прямые у=кх и данная параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны. Определив угловой коэффициент прямой у=кх (к= ), получим, что угловой коэффициент данной прямой равен -2. А так как данная прямая пересекает ось Оу в точке с ординатой 3, то в уравнении данной прямой (у=кх+m), к=-2, m=3. Искомое уравнение имеет вид у= =-2х+3. у=кх у х А

9 Теоремы Уравнение изображенной прямой можно получить и иначе, если иметь ввиду следующие утверждения. Уравнение изображенной прямой можно получить и иначе, если иметь ввиду следующие утверждения. Теорема 1. Если прямая отсекает на осях отрезки а и в (не равные нулю), то ее можно представить уравнением =1. Если прямая отсекает на осях отрезки а и в (не равные нулю), то ее можно представить уравнением =1.

10 Теорема 2. Уравнение =1 представляет прямую, отсекающую на осях (считая от начала координат) отрезки а и в. Уравнение =1 представляет прямую, отсекающую на осях (считая от начала координат) отрезки а и в. Уравнение =1 называется уравнением прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0). Уравнение =1 называется уравнением прямой в отрезках (ясно, что а=0, в=0).

11 Вывод уравнения прямой в отрезках. Уравнение прямой в отрезках легко получается либо из общего уравнения прямой, либо из уравнения прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках легко получается либо из общего уравнения прямой, либо из уравнения прямой с угловым коэффициентом. Пусть у=кх+m – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Приведем его к виду =1. Пусть у=кх+m – уравнение прямой с угловым коэффициентом. Приведем его к виду =1.

12 у=кх+m Для этого перенесем слагаемое кх в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный и разделим обе части полученного равенства на m. Получим следующее уравнение =1. Перепишем это уравнение в виде =1. Для этого перенесем слагаемое кх в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный и разделим обе части полученного равенства на m. Получим следующее уравнение =1. Перепишем это уравнение в виде =1. Учтем, что =. Следовательно, =. Обозначив буквой «а», а m – буквой «в» получим искомое уравнение прямой в отрезках =1. Учтем, что =. Следовательно, =. Обозначив буквой «а», а m – буквой «в» получим искомое уравнение прямой в отрезках =1.

13 Рассмотрим следующий пример Пример 5. Пример 5. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке. Решение. Решение. Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно записать так:1) =1 или =1. Из последнего уравнения можно получить уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая отсекает отрезки -2 на оси Оу и 3 – на оси Ох. Поэтому ее уравнение можно записать так:1) =1 или =1. Из последнего уравнения можно получить уравнение прямой в общем виде и уравнение прямой с угловым коэффициентом. у х

14 Пример 5. 2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0. 2) =1 6. 2х-3у=6. 2х-3у-6=0. 3) =1. = 1 2. у= -2. 3) =1. = 1 2. у= -2. В ответе можно записать любое из уравнений 1), 2) или 3). В ответе можно записать любое из уравнений 1), 2) или 3). Кроме того, уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на чертеже. Кроме того, уравнение прямой в отрезках удобно использовать для построения этой прямой на чертеже.

15 Уравнение прямой, проходящей через две точки. Теперь, допустим, нужно записать уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для решения этой задачи надо составить и решить систему уравнений Теперь, допустим, нужно записать уравнение прямой проходящей через две точки А (1;-2) и В (-1;4). Очевидно, что для решения этой задачи надо составить и решить систему уравнений относительно к и m, где х 1 =1, у 1 =-2, относительно к и m, где х 1 =1, у 1 =-2, х 2 =-1, у 2 =4. И, найдя значения к и m, подставить их в уравнение у=кх+m. Всякий раз решать подобные задачи таким способом довольно-таки нерационально. х 2 =-1, у 2 =4. И, найдя значения к и m, подставить их в уравнение у=кх+m. Всякий раз решать подобные задачи таким способом довольно-таки нерационально. у 2 =кх 2 +m. у 1 =кх 1 +m,

16 Решим эту задачу в общем виде. Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ) такие, что х 1 =х 2, у 1 =у 2. Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ) такие, что х 1 =х 2, у 1 =у 2. Так как прямая проходит через эти точки, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой у=кх+m. Так как прямая проходит через эти точки, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой у=кх+m.

17 Решим эту задачу в общем виде. Решим систему уравнений Решим систему уравнений относительно к и m. Найдя относительно к и m. Найдя значения к и m, подставим их в уравнение у=кх+m. Итак, значения к и m, подставим их в уравнение у=кх+m. Итак, Уравнение прямой примет вид: у= х+у 1 - х 1. Уравнение прямой примет вид: у= х+у 1 - х 1. у 2 =кх 2 +m. у 1 =кх 1 +m, m=у 1 -кх 1, у 2 =кх 2 +у 1 -кх 1. m=у 1 -кх 1, у 2 =кх 2 +m. у 1 =кх 1 +m, к=. (у 2 -у 1 )=к (х 2 -х 1 ). m=у 1 -кх 1, m=у 1 - х 1, к=.

18 Преобразуем его у-у 1 = х- х 1, у-у 1 = х- х 1, у-у 1 = (х-х 1 ). у-у 1 = (х-х 1 ). (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=(у 2 -у 1 ) (х-х 1 ) (х 2 -х 1 ) (у 2 -у 1 ), (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=(у 2 -у 1 ) (х-х 1 ) (х 2 -х 1 ) (у 2 -у 1 ), Мы получили уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ), причем х 1 =х 2, у 1 =у 2. Мы получили уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1 ;у 1 ) и (х 2 ;у 2 ), причем х 1 =х 2, у 1 =у 2.,,

19 (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=(у 2 -у 1 ) (х-х 1 ) А что если х 2 =х 1 (при условии, что у 2 =у 1 ) или у 2 =у 1 (при условии, что х 2 =х 1 )? А что если х 2 =х 1 (при условии, что у 2 =у 1 ) или у 2 =у 1 (при условии, что х 2 =х 1 )? В этом случае уравнение ( ) будет выглядеть так: (у 2 - (у 2 -у 1 ) (х-х 1 )=0 или (у-у 1 ) (х 2 -х 1 )=0. Откуда получим уравнения: х=х 1 или у=у 1. То есть уравнения прямых, параллельных координатным осям.

20 В первом случае – уравнение прямой, параллельной оси Оу, а во втором случае – уравнение прямой, параллельной оси Ох. В первом случае – уравнение прямой, параллельной оси Оу, а во втором случае – уравнение прямой, параллельной оси Ох. О 1 1 у О 1 1 х ухх

21 Пример 6. Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) и В (-1;4). Записать уравнение прямой, проходящей через точки А (1;-2) и В (-1;4).Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две различные точки. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две различные точки. Перепишем его в виде Перепишем его в виде Теперь подставим в него координаты данных точек: Теперь подставим в него координаты данных точек: Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и В (-1;4). Итак, у=-3х+1 – уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-2) и В (-1;4). Ответ: у=-3х+1 Ответ: у=-3х+1 (-6)-3(х-1)=у+2.у=-3х+1.

22 Рассмотрим задачу: «Лежат ли точки А 1 (-2;5), А 2 (4;3), А 3 (16;-1) на одной прямой?». «Лежат ли точки А 1 (-2;5), А 2 (4;3), А 3 (16;-1) на одной прямой?». Решить ее можно так: Решить ее можно так: 1) Составить уравнение прямой, проходящей, например, через точки А 1 и А 2. 1) Составить уравнение прямой, проходящей, например, через точки А 1 и А 2. 2) Подставить координаты точки А 3 в полученное уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли точка А 3 прямой, проходящей через точки А 1 и А 2. 2) Подставить координаты точки А 3 в полученное уравнение, проверив тем самым, принадлежит ли точка А 3 прямой, проходящей через точки А 1 и А 2.

23 Итак: «Лежат ли точки А1 (-2;5), А2 (4;3), А3 (16;-1) на одной прямой?» Использование уравнения прямой, проходящей через две различные точки, значительно сокращает процесс поиска решения данной задачи. Положив в уравнении х=х 3, у=у 3 и, подставив координаты данных точек в равенство, Использование уравнения прямой, проходящей через две различные точки, значительно сокращает процесс поиска решения данной задачи. Положив в уравнении х=х 3, у=у 3 и, подставив координаты данных точек в равенство, получим:. Полученное равенство верное, следовательно, точки А 1, А 2 и А 3 лежат на одной прямой. получим:. Полученное равенство верное, следовательно, точки А 1, А 2 и А 3 лежат на одной прямой. Итак, использование различных видов уравнений прямой позволяет рационализировать поиск решения ряда задач. Итак, использование различных видов уравнений прямой позволяет рационализировать поиск решения ряда задач.

24 Спасибо за внимание!!!