МОУ «СОШ 15» г.о. Нальчик Проект по теме: Выполнила: Митик Мария, 9 класс Руководитель проекта: Бозиева Ф.С. высшая квалификационная категория. - презентация

1 МОУ «СОШ 15» г.о. Нальчик Проект по теме: Выполнила: Митик Мария, 9 класс Руководитель проекта: Бозиева Ф.С. высшая квалификационная категория.

2 Цель. Показать, что в математике много увлекательного и интересного. Цель. Показать, что в математике много увлекательного и интересного. Задачи: Задачи: Сделать ленту Мёбиуса. Сделать ленту Мёбиуса. Узнать свойства ленты Мёбиуса. Узнать свойства ленты Мёбиуса. Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса. Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса. Узнать об использовании ленты Мебиуса в искусстве и жизни. Узнать об использовании ленты Мебиуса в искусстве и жизни. Узнать о свойствах бутылки Клейна Узнать о свойствах бутылки Клейна

3 Август Фердинанд Мёбиус. Немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус ( ), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие прославленные математики. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия была прибыльным делом и давала возможность заниматься проблемами других научных областей. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие ленты, которая бала названа его Именем. Идея пришла Мёбиусу в голову, когда служанка не правильно сшила ленту. Немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус ( ), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие прославленные математики. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия была прибыльным делом и давала возможность заниматься проблемами других научных областей. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие ленты, которая бала названа его Именем. Идея пришла Мёбиусу в голову, когда служанка не правильно сшила ленту.

4 Топология. Топологические свойства листа Мебиуса. 1. Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. 2. Непрерывность - с топологической точки зрения круг неот­личим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в дру­гой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет - не­прерывность полная. 3. Связность - Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой, лента Мебиуса двухсвязна. 4. Ориентированность свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение. 4. Ориентированность свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение. 5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

5 Изготовление Ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы. Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы. Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать. Для этого надо взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать. Для этого надо взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.

6 4. Свойства ленты Мёбиуса Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами, изучение которых становится увлекательным занятием. Зададимся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Давайте проверим: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны. Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Ее нет. сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Давайте проверим: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны. Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Ее нет.Вывод: Начали красить лист Мёбиуса, не переворачивая. Лист Мёбиуса закрасился полностью. « Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?» Начали красить лист Мёбиуса, не переворачивая. Лист Мёбиуса закрасился полностью. « Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»

7 Проведем линию вдоль ленты, на одинаковом расстоянии от краёв. Что заметили? Вывод: Линия проведена «с двух сторон». Линия вернулась в точку начала.

8 А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (лист Мёбиуса) по всей длине? Получилось два кольца? Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента» (так называют ее фокусники).

9 Разрежьте «Афганскую ленту» вдоль посередине. Вывод: Получились две ленты, намотанные друг на друга.

10 Лист Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии 1 см от края. Лист Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии 1 см от края. Вывод: Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота. Вывод: Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

11 Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Что у Вас получилось? Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Что у Вас получилось? Вывод: Получились три кольца, намотанные друг на друга. 2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента». Вывод: Получились три кольца, намотанные друг на друга. 2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента».

12 Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы ( как показано на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет: ( как показано на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет: Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента». перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента».

13 Бумажную куклу отправили вдоль по середине листа Мёбиуса. Бумажную куклу отправили вдоль по середине листа Мёбиуса. Вывод: Вывод: Кукла вернулась в то же место откуда начала движение, но в перевернутом виде. Кукла вернулась в то же место откуда начала движение, но в перевернутом виде.

14 Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Вывод: Вывод: Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одина­ковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одина­ковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по- прежнему сцеплены вместе. Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по- прежнему сцеплены вместе.

15 А вот еще одна фигура, надо ее склеить так, чтобы совпали точки А и Е; В и F C и G; D и H. C и G; D и H. Вывод: Получили две непересекающиеся ленты Мебиуса, соединенных между собой.

16 Возьмём на листе Мёбиуса точку, проведем к ней нормаль (перпендикуляр), а вокруг нормали начертим небольшую окружность с направлением против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Возьмём на листе Мёбиуса точку, проведем к ней нормаль (перпендикуляр), а вокруг нормали начертим небольшую окружность с направлением против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Начнем перемещать точку вместе с нормалью и направленной окружностью по листу Мёбиуса. Когда точка обойдёт весь лист и вернётся в исходное положение (зрительно она будет на другой стороне листа, но в геометрии поверхность толщины не имеет), направление нормали изменится на обратное, а направление окружности на противоположное. Начнем перемещать точку вместе с нормалью и направленной окружностью по листу Мёбиуса. Когда точка обойдёт весь лист и вернётся в исходное положение (зрительно она будет на другой стороне листа, но в геометрии поверхность толщины не имеет), направление нормали изменится на обратное, а направление окружности на противоположное. Выводы: Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса неориентируема. Выводы: Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса неориентируема.

17 Выводы: Лист Мебиуса имеет один край. Лист Мебиуса имеет один край. Лист Мебиуса имеет одну сторону. Лист Мебиуса имеет одну сторону. Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не склеивают её отдельные куски. Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не склеивают её отдельные куски. Поверхность листа Мёбиуса неориентируема. Поверхность листа Мёбиуса неориентируема.

18 Проблемы.

19 Бутылка Клейна. Бутылку построил в 1882 году немецкий математик Феликс Клейн. Обычная бутылка имеет наружную и внутреннюю стороны. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Бутылку построил в 1882 году немецкий математик Феликс Клейн. Обычная бутылка имеет наружную и внутреннюю стороны. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную.

20

21 Изготовление бутылки Клейна из листа бумаги

22 Бутылка Клейна это односторонняя поверхность без края с числом Бетти, равным 2 и хроматическим числом, равным 6. Бутылка Клейна это односторонняя поверхность без края с числом Бетти, равным 2 и хроматическим числом, равным 6.

23 5.Использование листа Мёбиуса У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка.

24 В 1923 году выдан патент знаменитому американскому изобретателю Ли де Форесту, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса. В 1923 году выдан патент знаменитому американскому изобретателю Ли де Форесту, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса. В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свиде­тельство на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предло­жил натянуть сделанную из специального материала лен­ту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свиде­тельство на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предло­жил натянуть сделанную из специального материала лен­ту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство ). (им выдано авторское свидетельство ).

25 Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон. Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон. В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало изобретение Джакобса, который поставил свои знания топологии на служ­бу химчистки он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «рабо­тая» при этом обеими своими сторонами. В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало изобретение Джакобса, который поставил свои знания топологии на служ­бу химчистки он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «рабо­тая» при этом обеими своими сторонами. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. тоже применил фильтр в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. тоже применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса. Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса.

26 Красящая лента в первых принтерах – лента Мёбиуса увеличивала срок их использования. Красящая лента в первых принтерах – лента Мёбиуса увеличивала срок их использования. Международный символ переработки – лист Мёбиуса. Международный символ переработки – лист Мёбиуса. В метро ручка эскалатора, не что иное, как лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины. В метро ручка эскалатора, не что иное, как лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины. Любят ленту Мёбиуса художники, писатели – фантасты. Любят ленту Мёбиуса художники, писатели – фантасты.

27 6.Использование листа Мёбиуса в искусстве. В рассказе А.Дж. Дейча «Метро Мебиус II» рассказывается о бостонском метро, линии которого причудливым образом разрослись и превратились в ленту Мебиуса. Целые составы стали исчезать и возвращались через месяц…. В рассказе А.Дж. Дейча «Метро Мебиус II» рассказывается о бостонском метро, линии которого причудливым образом разрослись и превратились в ленту Мебиуса. Целые составы стали исчезать и возвращались через месяц….

28 Встречаются упоминание о листе Мёбиуса и в поэзии. Встречаются упоминание о листе Мёбиуса и в поэзии. «Лист Мебиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом». «Лист Мебиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом». ( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова) ( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова) Лента Мёбиуса широко используется фокусниками Лента Мёбиуса широко используется фокусниками

29 Особенно любил работать с топологическими объектами голландский художник Морис Корнелис Эшер (1898 – 1972 годы) множество его работ посвящены листу Мебиуса. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Особенно любил работать с топологическими объектами голландский художник Морис Корнелис Эшер (1898 – 1972 годы) множество его работ посвящены листу Мебиуса. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.

30 Золотое колечко в виде листа Мёбиуса

31 Мебель в форме листа Мебиуса (видимо, для поссорившихся парочек).

32 Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна и шарф в форме листа Мебиуса

33 III Заключение В результате выполнения этого проекта Я узнала, что: В результате выполнения этого проекта Я узнала, что: Существует односторонняя поверхность – лист Мёбиуса. Существует односторонняя поверхность – лист Мёбиуса. Он обладает удивительными свойствами. Он обладает удивительными свойствами. Лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни. Лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни. Она волнует литераторов и художников. Она волнует литераторов и художников. Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи. Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи.

34 Практическим результатом моего проекта стало: Изготовление бумажной бутылки Клейна. Изготовление бумажной бутылки Клейна. Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна (смотри схему). Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна (смотри схему). Вязаный шарф в форме листа Мебиуса. Вязаный шарф в форме листа Мебиуса. Схема вязания шапочки в форме бутылки Клейна Схема вязания шапочки в форме бутылки Клейна