Использование в технике Производная помогает получить для нужд техники очень простые и удобные для вычислений формулы. Этому служит известная приближенная. - презентация

1

2 Использование в технике Производная помогает получить для нужд техники очень простые и удобные для вычислений формулы. Этому служит известная приближенная формула: (1) (2) (3)

3 Примеры из реальной производственной практики

4 Показать, что автомобиль, проходящий поворот, занимает на проезжей части большую ширину, чем на прямолинейном участке дороги. Найти необходимое уширение однополосной дороги на повороте радиуса R для автомобиля, продольная база (расстояние между передней и задней осями) которого равна l. На повороте все четыре колеса автомобиля катятся по дугам концентрических окружностей с центром в некоторой точке О центр поворота), причем заднее левое колесо D описывает окружность наименьшего, а переднее правое В – наибольшего радиуса. Поэтому ширина дорожной полосы на повороте должна равняться ОВ – ОD. Необходимая ширина прямолинейной полосы равна ОС – ОD. Так как, очевидно, ОВ>ОС, то дорога на повороте должна быть шире. Искомое уширение h = (OB – OD) – (ОС – ОD) = ОВ – ОС. Поскольку радиус поворота во много раз больше ширины дороги, число R можно считать радиусом окружности качения любого из четырех колес. Пусть R = ОВ. В таком случае нам нужно найти стрелку сегмента круга радиуса R по величине 2l, стягивающей этот сегмент хорды. Ответ:

5 Примеры из реальной производственной практики Для того, чтобы водитель на повороте видел дорогу на безопасном расстоянии s (оно определяется длиной тормозного пути), у внутренней стороны поворота должна быть полоса (зона видимости), свободная от всяких препятствий видимости. Определить ширину зоны видимости вдоль поворота радиуса R. Решение. В данном случае ширина дороги значения не имеет. Дорогу принимаем за дугу окружности радиуса R. Пусть автомобиль находится в точке А, а точка В такова, что длина дуги АВ равна s. Требуется найти длину f стрелки СD сегмента круга. Если радианная мера центрального угла АОВ равна α, то s = Rα, а значит,

6 Примеры из реальной производственной практики

7 У открытого сверху стального резервуара толщина стенки а, толщина днища b, внешний радиус основания r, внешняя высота h. Найти массу пустого резервуара, если плотность металла р.

8 Примеры из реальной производственной практики

9 При проведении измерительных работ на местности земная поверхность принимается за плоскость, что при больших расстояниях приводит к существенным погрешностям. В самом деле, при измерениях в окрестности точки А точка В, принадлежащая рассматриваемой плоскости(касательной к земной поверхности в точке А), при таких расчетах имеет нулевую высоту, а на самом деле, высота точки В равна h = ВВ 1. Эта величина называется поправкой к высоте на кривизну Земли. Выразить поправку h через радиус Земли R и расстояние l между точками А и В 1.

10 Примеры из реальной производственной практики При топографических съемках окрестности точки А вместо истинного расстояния между точками земной поверхности А и В 1 берут расстояние l между их проекциями на касательную к земному шару плоскость (А – точка касания) и при достаточно большой l вводят поправку (к длине) l на кривизну Земли. Записать формулу для l. Решение: Пусть α – радианная мера угла АОВ. Т.к. АВ = Rtgα, то АВ 1 = Rα = Rarctg Пусть АВ = х. Рассмотрим функцию f(x) = l = AB – AB 1 = x - Rarctg Легко проверить, что f´(0) = 0. Значит, формулой (1) пользоваться нельзя. Однако имеется обобщение этой формулы: В нашем случае при х0 = 0 и h = l эта формула дает такой результат:

11 Рекомендуемая литература В.А. Петров «Производная на службе у техники», журнал «Математика в школе», 8, 2006