AG00120_ - презентация

1 Чипышева Людмила Викторовна, учитель математики МОУ гимназии 80 ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

2 Содержание Справочный материал Применение производной для исследования функции на монотонность Применение производной для исследования функции на экстремумы Применение производной для нахождение наибольшего и наименьшего значений. Касательная к графику функции Производная и её график. Комбинированные задачи.

3 Справочный материал Исследование функции на монотонность Признак возрастания функции: Если f / (х)>0 в каждой точке некоторого промежутка, то на этом промежутке функция f(x) возрастает.

4 Справочный материал Исследование функции на монотонность Признак убывания функции: Если f / (х)

5 Справочный материал Исследование функции на экстремумы Признак максимума функции: Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, а f / (х)>0 на интервале (a;х 0 ) и f / (х)

6 Справочный материал Исследование функции на экстремумы Признак минимума функции: Если функция f(x) непрерывна в точке х 0, а f / (х)0 на интервале (х 0 ;b ), то x 0 является точкой минимума. Упрощённая формулировка: Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка максимума. ЗАДАЧИ

7 Справочный материал Наибольшее, наименьшее значения функции. Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [a;b] или в одной из точек экстремума на интервале (а;b). Если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную точку экстремума – точку максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение ЗАДАЧИ

8 Справочный материал Касательная к графику функции f / (x 0 ) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у=f(x) в точке х 0. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси ОХ. K = tg a = f / (x 0 ) Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х 0 : у=f(x 0 )+ f / (x 0 )(х-х 0 ) ЗАДАЧИ

9 Применение производной для исследования функции на монотонность справка

10 Функция у = f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке 104 изображен ее график. Укажите число промежутков, на которых отрицательна функция у = f'(х). 4

11 Функция у = f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке 105 изображен график её производной. Укажите число промежутков, на которых функция у = f"(x) положительна. 3

12 Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 7). На рисунке 112 изображён график её производной. Найдите максимальную длину промежутка, на котором f(x) постоянна. 2

13 На рисунке 113 изображен график производной функции у = f(x). Укажите число промежутков возрастания функции у = f(x). 3

14 На рисунке 114 изображен график производной функции у = f(x). Укажите количество промежутков убывания функции у = f(х). 2

15 Применение производной для исследования функции на экстремумы справка

16 Функция у = f(x) определена на промежутке (a; b). На рисунке 99 изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции у = f(x - 1) на промежутке (a + 1; Ь + 1). 4

17 Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 110 изображен график её производной. Найдите количество точек максимума функции у =f(x) + 2 х. 3

18 Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 111 изображен график её производной. Найдите количество точек минимума функции у = f(x) - Зх. 2

19 Функция у = f(х) определена на промежутке (а; b). На рисунке 78 изображен график ее производной. Укажите число точек максимума функции у = f(x) х на промежутке (а; b). 4

20 Функция у = f(x) определена на промежутке (а; Ь). На рисунке 79 изображен график ее производной. Укажите число точек максимума функции у = f(x) + 2 х на промежутке (а; Ь). 3

21 Функция у =f(x) определена на промежутке (a;b). На рисунке 80 изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции у= f(x) + х на промежутке (а; b). 3

22 Функция у = f(x) определена на промежутке (а; b). На рисунке 81 изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции у = f(x) - Зх на промежутке (а; b), 3

23 Функция у =f(х) определена на промежутке (а; b). Ее производной является функция у = f'(x), a на рисунке 84 изображен график функции у = f'(x) + 2. Укажите число точек максимума функции у = f(x) на промежутке (а; b). 3

24 Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значений. справка

25 Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-8; 7]. На рисунке 100 изображен график ее производной. Определите точку оси Ох, в которой функция у= f(x) достигает своего наибольшего значения на отрезке [-8; 7]. 7

26 Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-7; 6]. На рисунке 101 изображен график ее производной. Определите точку оси Ох, в которой функция у =f(x) достигает своего наибольшего значения на отрезке [-7; 6]. -3

27 Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [5; 5]. На рисунке 106 изображен график ее производной. Найдите точку х 0, в которой функция принимает наибольшее значение, если f(-5) f(5). 4

28 Функция у = f(x) определена и непрерывна на отрезке [5; 5]. На рисунке 107 изображен график ее производной. Найдите точку х 0, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(-5) f(5). 3

29 Функция у = f(x) определена на промежутке (4; 6). На рисунке 108 изображен график её производной. Найдите точку, в которой разность функций у = f(x) и у = х + 3 принимает наибольшее значение. -2

30 Функция у= f(x) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 109 изображен график её производной. Найдите точку, в которой разность функций у = f(x) и у = 2 х 1 принимает наименьшее значение. 4

31 Касательная к графику функции справка

32 Функция f(x) определена на промежутке (а; Ь). На рисунке 103 изображен график ее производной. Укажите число точек, в которых касательная к графику функции у= f(x) параллельна оси абсцисс. 4

33 Функция f(x) определена на промежутке (а;Ь). На рисунке 102 изображен график ее производной. Укажите число точек, в которых касательная к графику функции у= f(x) параллельна оси абсцисс. 6

34 На рисунке 74 изображена прямая, являющаяся касательной к графику функции у = f(x) в точке (х 0 ; f(x)). Найдите значение производной у = f'(x) в точке x 0. 1,5

35 На рисунке 75 изображена прямая, являющаяся касательной к графику функции у = f(x) в точке (x 0 ; f(x 0 )). Найдите значение производной у = f'(x) в точке х ,6

36 На рисунке 76 изображена прямая, являющаяся касательной к графику четной функции у = f(x) в точке (х 0 ;f(x 0 )). Найдите значение производной у = f(x) в точке - x 0. -0,4

37 На рисунке 77 изображена прямая, являющаяся касательной к графику нечетной функции у = f(x) в точке (х 0 ; f(x 0 ))- Найдите значение производной у=f / (x) в точке - х ,2

38 На рисунке 82 изображены прямые, являющиеся касательными к графику функции у = f(x) в точках с абсциссами х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. Определите количество положительных чисел среди значений производной у = f'(x) в точках х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. 1

39 На рисунке 83 изображены прямые, являющиеся касательными к графику функции у = f(x) в точках с абсциссами х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. Определите количество неположительных чисел среди значений производной у = f'(x) в точках х 1, х 2, х 3, х 4, х 5. 4

40 К графику функции у = f(x), заданной на отрезке [8; 7], проведена касательная в точке с абсциссой x 0. Определите значение выражения x 0 +f(x 0 ), если на рисунке 85 изображены эта касательная и график производной у = f'(x) данной функции. - 11

41 К графику функции у = f(x), заданной на отрезке [7; 6], проведена касательная в точке с абсциссой х 0. Определите значение выражения x 0 + f(x 0 ), если на рисунке 86 изображены эта касательная и график производной у = f'(x) данной функции. 0

42 Функция у = f(x) определена на промежутке (4; 5). На рисунке 6 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс. 3

43 Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 6). На рис. 9 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые наклонены под углом 27° к положительному направлению оси абсцисс. 4

44 Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 6). На рис. 12 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 53° к положительному направлению оси абсцисс. 2

45 Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 5). На рисунке 15 изображен график ее производной. Укажите максимальную длину промежутка, на котором касательная к графику функции у = f(x) образует с положительным направлением оси Ох угол, больший 45°. 4

46 Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 5). На рисунке 18 изображен график ее производной. Укажите максимальную длину промежутка, на котором касательная к графику функции у = f(x) образует с положительным направлением оси Ох угол, больший - 45°. 6

47 Функция у = f(x) определена на промежутке (6; 4). На рисунке 21 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(х), которые наклонены под острым углом к положительному направлению оси абсцисс, если синус этого угла равен 3/5. 5

48 Функция у = f(x) определена на промежутке (3; 7). На ри­сунке 24 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(х), которые наклонены под острым углом к положительному направлению оси абсцисс, если косинус этого угла равен 5/13. 5

49 Функция у = f(x) определена на промежутке (3; 7). На ри­сунке 33 изображен график ее производной у = f'(x). Найдите общее число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углами 30° и 45° к положительному направлению оси абсцисс. 6

50 Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 4). На рисунке 39 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у =f(х), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 3

51 Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 4). На рисунке 45 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 3

52 Функция у = f(x) определена на промежутке (7; 3). На рисунке 48 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции f(x), которые наклонены под углом 135° к положительному направлению оси абсцисс. 4

53 Функция у = f(x) определена на промежутке (5; 4). На рис. 51 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у= f(x), которые наклонены под тем же углом к положительному направлению оси абсцисс, что и касательная в точке 1 (исключая ее саму). 3

54 Функция у = f(x) определена на промежутке (2; 7). На рис. 54 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(x), которые наклонены под тем же углом к оси абсцисс, что и касательная в точке х = 2 (исключая ее саму). 4

55 Производная и её график. Комбинированные задачи.

56 На рисунке 115 изображен график функции f(x) = ах 2 + Ьх + с и четыре прямые. Одна из этих прямых график производной данной функции. Укажите номер этой прямой. 1

57 На рисунке 116 изображен график функции f(x) = ах 2 + Ьх + с и четыре прямые. Одна из этих прямых график производной данной функции. Укажите номер этой прямой. 2

58 На рисунке 117 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для строго возрастающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 3

59 На рисунке 118 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для убывающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 1

60 На рисунке 119 изображены четыре непрерывных линии. Одна из этих линий график производной для возрастающей на всей числовой прямой функции. Укажите номер этой линии. 4

61 Функция у f(x) определена на промежутке (5; 6). График ее производной изображен на рисунке 120. Укажите количество промежутков, на которых функция у = f(x) представляет собой константу. 3

62 Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 6). График ее производной изображен на рисунке 121. Укажите количество промежутков, на которых функция у = f(х) представляет собой линейную функцию. 5

63 Функция у = f(x) определена на промежутке (-5; 6). График ее производной изображен на рисунке 122. Укажите количество промежутков, на которых функции у = f(x) представляет собой квадратичную функцию. 4