Тема: Расстояние от точки до плоскости, геометрические методы. Урок 6 «Решаем С2 ЕГЭ» Разработала : Куракова Е. В., учитель математики МБОУ СОШ с УИОП. - презентация

1 Тема: Расстояние от точки до плоскости, геометрические методы. Урок 6 «Решаем С2 ЕГЭ» Разработала : Куракова Е. В., учитель математики МБОУ СОШ с УИОП 38 им.Е.А. Болховитинова 11 класс физико-математического профиля

2 Цели : Повторить понятие расстояния от точки до плоскости и методы введения координатПовторить понятие расстояния от точки до плоскости и методы введения координат Закрепить формулу нахождения расстояния от точки до плоскостиЗакрепить формулу нахождения расстояния от точки до плоскости Рассмотреть примеры С2 ЕГЭРассмотреть примеры С2 ЕГЭ Блитц-опрос по терминам

3 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC 1 до плоскости AB 1 D 1. D АВ С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 1 1 К Расстояние от точки К до плоскости АВ 1 D 1 равно расстоянию между параллельными плоскостями АВ 1 D 1 и В D С 1.

4 D АВ С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 1 1 К O1O1 O X ? 1

5 D АВ С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 1 1 К O1O1 O X ? 1 Чтобы найти высоту O 1 X, выразим два раза площадь треугольника.

6 D АВ С А1А1 D1D1 С1С1 В1В1 1 1 К O1O1 O X ? 1

7 2. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости СB 1 D 1. D В С1С1 А1А1 1 А В1В1 С О1О1 D1D1 M О Диагонали квадрата перпендикулярны D 1 B 1 – перпендикуляр к плоскости. Значит, любая плоскость, проходящая через перпендикуляр D 1 B 1, в том числе и наша плоскость CD 1 B 1, перпендикулярна плоскости С 1 А 1 А. СО 1 – линия пересечения плоскостей. Рассмотрим треугольник СО 1 А, и в этом треугольнике построим высоту AM к стороне СО 1. 1

8 D В С1С1 А1А1 1 А В1В1 С О1О1 D1D1 M О

9 D В С1С1 А1А1 1 А В1В1 С О1О1 D1D1 M О Чтобы найти высоту AM, выразим два раза площадь треугольника CAO 1. 1

10 D 1 L является наклонной к плоскости ABB 1. BA D C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 F L M B1B1B1B1 K8 6) Построим линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 (MK – ребро двугранного угла ) 7 ) D 1 L MK, н-ян-ян-ян-я п-рп-рп-рп-р D 1 A 1 – перпендикуляр к плоскости ABB 1 п-яп-яп-яп-я A 1 L – проекция отрезка D 1 L на плоскость ABB 1. Применим теорему о трех перпендикулярах. D 1 L MK н-ян-ян-ян-я Т Т ПТ Т ПТ Т ПТ Т П A 1 L MK п-яп-яп-яп-я D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 Попробуем сделать чертеж более наглядным. Опрокинем призму на грань ABB 1 A 1 4. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MKN

11 B A C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 12 B1B1B1B1 8MD K8 1). Построим сечение призмы плоскостью D 1 MK. 2). MK, т.к. точки M и K лежат в одной плоскости. MD 1, точки лежат в одной плоскости. 3). Строим KF II MD 1, т.к. эти отрезки сечения лежат в параллельных гранях. F 4). FD 1, т.к. точки лежат в одной грани. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ=8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К=8. Найдите расстояние от точки А 1 до плоскости D 1 MK 5 ) Через точку А надо построить плоскость, перпендикулярную плоскости D 1 MK. Затем мы опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей.

12 D 1 L является наклонной к плоскости ABB 1. B A C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 L 12 B1B1B1B1 н-ян-ян-ян-я п-рп-рп-рп-р п-яп-яп-яп-я 8MD K8F 6) Построим линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 (MK – ребро двугранного угла ) 7 ) D 1 L MK, D 1 A 1 – перпендикуляр к плоскости ABB 1 A 1 L – проекция отрезка D 1 L на плоскость ABB 1. Применим теорему о трех перпендикулярах. D 1 L MK н-ян-ян-ян-я Т Т ПТ Т ПТ Т ПТ Т П A 1 L MK п-яп-яп-яп-я D 1 LA 1 – линейный угол двугранного угла A 1 MKD 1 N Плоскость линейного угла (A 1 LD 1 ) перпендикулярна каждой грани двугранного угла : Строим перпендикуляр из точки А на D 1 L в плоскости А 1 LD 1. A 1 LD 1 AB С 1, A 1 LD 1 AB С 1, A 1 LD 1 D 1 MKD A 1 LD 1 D 1 MKD

13 Из KZM, по теореме Пифагора: KM 2 = KZ 2 + ZM 2 ; KM 2 = ; KM 2 = 169; KM = 13. B A C C1C1C1C1 A1A1A1A1 D1D1D1D1 L 12 B1B1 8MD K8F M K8 A1A1A1A1 B1B1B1B L Z KZM = A 1 LM, по гипотенузе и острому углу. KZ = A 1 L = 12, ? ? Из A 1 D 1 L: N

14 В правильной треугольной призме АВС A 1 B 1 C 1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. Точка D – середина ребра CC 1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости А D В 1. А В С1С1 2 3 Воспользуюсь приемом, который обозначен на странице сайта: через точку С провести плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости ADB 1. D P А1А1 С Точки А и Р лежат в одной плоскости АВС, можем их соединить. РА – ребро двугранного угла В 1 РАС. Опустим перпендикуляр на ребро РА в каждой грани двугранного угла K тогда PD = DB 1 = AD тогда PD = DB 1 = AD по катету и острому углу ADP - равнобедренный С 1 D 1 = PC = AC С 1 D 1 = PC = AC по катетам ACP - равнобедренный по катетам ACP - равнобедренный В1В1 Точка Р – след секущей плоскости на прямой СВ. DK APCK AP DKC – линейный угол двугранного угла DAPC В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию, будет являться и высотой.

15 2 2 А В С1С1 В1В1 2 3 D P А1А1 С32 32 K KDC ADB 1, в плоскости KDC опустим перпендикуляр на линию пересечения этих плоскостей D К. N ACP = AC В = 60 0, тогда смежный угол AC К = 60 0, т.к. высота равнобедренного треугольника АСР является и биссектрисой. САК = – 90 0 – 60 0 САК = Из САК: СК = 1.1 Плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани двугранного угла. 13 2

16 Мы уже решали задачу о нахождении высоты треугольника через площадь. Но можно применить и подобие треугольников KCD и С ND. Треугольники подобны по двум углам: угол D – общий, KCD и CND – прямые.2 2 А В С1С1 В1В1 2 3 D P А1А1 С32 32 K N N С D K 13 2 Составим пропорцию сходственных сторон.

17 В С А В1В1 А1А1 С1С1 7. Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. ВС = 3. Высота призмы равна 4. Найдите расстояние от точки В до плоскости АСВ 1. 3 N 4 BK – искомое расстояние. Обоснуем. п - я н - я K тогда АС будет перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. В K – перпендикуляр к плоскости, искомое расстояние, которое легко выразив два раза площадь треугольника ВСВ 1. п-яп-яп-яп-я н-ян-ян-ян-я

18 С А В1В1 А1А1 С1С1 3 N 4 5 В K

19 Домашнее задание: 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка DC 1 до плоскости AB 1 С Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от точки А до плоскости BB 1 D В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА 1 взята точка М так, что АМ =8. На ребре ВВ 1 взята точка К так, что В 1 К =8. Найдите расстояние от точки C 1 до плоскости D 1 MK. 4. В правильной треугольной призме АВС A 1 B 1 C 1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. Точка D – середина ребра CC 1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости А D В Основанием прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. ВС = 3. Высота призмы равна 4. Найдите расстояние от точки O до плоскости АСВ 1, где О – точка пересечения диагоналей ABCD.