Кривые второго порядка Выполнила: студентка группы 2У31 Полымская Дарья. - презентация

1 Кривые второго порядка Выполнила: студентка группы 2У31 Полымская Дарья

2 Кривые второго порядка Общее уравнение кривой второго порядка Общее уравнение кривой второго порядка Окружность Окружность Эллипс Эллипс Гипербола Гипербола Парабола Парабола

3 Общее уравнение кривой второго порядка К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Они задаются уравнением второй степени относительно x и y: Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

4 Преобразование общего уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:

5 Преобразование общего уравнения к каноническому виду на примере: y 0 х y x Перенесем начало координат в точку (1; -1), получим новую систему координат:

6 Окружность Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R. y 0 х А R М(x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности

7 Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [F1 F2] y 0 х F1 -c r1 r2 F2 c M(x; y)

8 Каноническое уравнение эллипса

9 Эллипс y 0 х F1F1 F2F2 -c c M(x; y) r1r1 r2r2 а -а большая полуось малая полуось b -b фокальное расстояние фокальные радиусы точки М эксцентриситет эллипса Для эллипса справедливы следующие неравенства: Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)

10 Пример Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F 1 (-4; 0) F 2 (4; 0), а эксцентриситет равен 0,8. Каноническое уравнение эллипса: y 0 х

11 Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F1F1 F2F2 -c c M(x; y) r1r1 r2r2

12 Каноническое уравнение гиперболы

13 Гипербола y 0 х F1F1 F2F2 -c c M(x; y) а -а-а -b b Для гиперболы справедливо: r1r1 r2r2 фокальные радиусы точки М действительная полуось мнимая полуось эксцентриситет гиперболы асимптоты гиперболы

14 Пример Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями: Решим систему: Точка А лежит на гиперболе

15 Пример Каноническое уравнение гиперболы: 0 y х

16 Парабола y 0 х F M(x; y) d r Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки той же плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до прямой:

17 Парабола y 0 х F M(x; y) d r каноническое уравнение параболы директриса параболы фокус параболы фокальный радиус Эксцентриситет параболы:

18 Спасибо за внимание!