С в о й с т в а к о р н е й к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я. - презентация

1

2 С в о й с т в а к о р н е й к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я

3 Теорема Виета Теорема Виета Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Разложение квадратного трехчлена на множители Разложение квадратного трехчлена на множители Exit

4 Приведённые квадратные уравнения Приведённые квадратные уравнения Теорема Виета Теорема Виета Теорема обратная теореме Виета Теорема обратная теореме Виета Франсуа Виет( ) Франсуа Виет( )

5 Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно равно свободному члену. Доказательство

6 Особого внимания заслуживают квадратные уравнения в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называются приведёнными. Если в приведенном квадратном уравнении обозначить второй коэффициент буквой p, а свободный член буквой q, то уравнение будет иметь вид

7 Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x 2 +px+q=0 Если дискриминант этого уравнения больше нуля, то уравнение имеет два корня: Далее

8 Найдём сумму корней: Сумма корней –p, т.е. второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: x 1 +x 2 =-p Найдём прозведение корней: Произведение корней равно q, т.е. свободному члену: x 1 x 2 =p Далее

9 Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень. Его можно найти по формуле корней В дальнейшем в некоторых случаях целесообразно считать, что такое уравнение имеет не один, а два разных корня: и Тогда и в этом случае теорема Виета останется верной. Сложив x 1 и x 2, получим-p: Далее

10 Перемножив x 1 и x 2, получим P 2 /4. Но так как D=p 2 -4q=0, то P 2 =4q, а поэтому: Теорема доказана.

11 Франсуа Виет ( ), французский математик, по профессии юрист; ввел бук­ венные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнения «(Введение в аналитическое искусство», 1591). Ему принадлежит установление единообразного приема решения уравнений 2, 3 и 4-й степеней. Виет получил существенные результаты в тригонометрии, астрономии, криптографии; с появлением его работ в научных кругах Европы стали использоваться десятичные дроби. Среди своих открытий Виет особенно высоко ценил установленную им зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.

12 Для приведенного квадратного уравнения справедлива тео рема, обратная теореме Виета: если числа т и п таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = О. Доказательство

13 Пусть х 2 + рх + q = о – приведенное квадратное уравнение, а числа m и n такие, что m+n=-p и mn=q. Подставив в это уравнение вместо p равное ему число –(m+n), вместо q равное ему число mn, получим равносильное ему уравнение: x 2 -(m+n)x+mn=0 Преобразуем левую часть уравнения: x 2 -mx-nx+mn=0; x(x-m)-n(x-m)=0; (x-m)(x-n)=0.

14 Отсюда получаем: x-m=0 или x-n=0, x 1 =m, x 2 =n. Значит, числа m и n являются корнями уравнения: x 2 +px+q=0. ---Для не приведенного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 теорема, обратная теореме Виета, формулируется так: -если числа m и n таковы, что и, то эти числа являются корнями уравнения ax 2 +bx+c=0.

15 Выражение с двумя переменными называется симметрическим относительно этих переменных, если при перестановки этих переменных получается тождественно равное ему выражение. Пример

16 Рассмотрим выражения с двумя переменными: а b и b а, Если в каждом из них переставим переменные, т.е. всюду вместо а поставим b и вместо и вместо b поставим а, то получим тождественно равные им выражения:

17 1) Определение Определение 2) Теорема Теорема 3) Доказательство Доказательство

18 Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю. х = 2 При х = 2 квадратный трехчлен 3x 2 -7x+2 обращается в нуль.

19 Если x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то ax 2 + bx + c = a(x - x 1 )(x - x 2 ). Доказательство

20 Корни x 1 и x 2 квадратного трехчлена ax 2 +bx+c являются корнями квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0. Применяя теорему Виета, получим: Отсюда

21 Подставим получившиеся выражения вместо b и c в квадратный трехчлен и выполним преобразования: Значит Доказанная теорема позволяет, найдя корни квадратного трехчлена, записать его в виде произведения первого коэффициента, разности переменной и одного корня и разности переменной и другого коня. Теорема доказана

22

23