Дифференциальные уравнения 1-го порядка F(x, y, y)=0 - дифференциальное уравнение 1-го порядка y=f (x, y) – уравнение, разрешенное относительно производной. - презентация

1 Дифференциальные уравнения 1-го порядка F(x, y, y)=0 - дифференциальное уравнение 1-го порядка y=f (x, y) – уравнение, разрешенное относительно производной (нормальное) Задача Коши: y=f (x, y), y (xo)=yo Теорема. Если в уравнении y=f (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная по y непрерывны в некоторой области D плоскости XOY, и в этой области задана точка (xo,yo), то существует и притом единственное решение y=φ(x), удовлетворяющее как уравнению y=f (x, y), так и начальному условию yo=φ(xo).

2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными y=f (x)·g(y) или h(x)·g(y) dx+ĥ(x)·ğ(y) dy=0 Метод решения: интегрирование Общий интеграл Необходимо проверить, является ли g(y)=0, то есть y= const, решением уравнения (особым или частным).

3 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Пример 1. Найти решение уравнения Решение. Общий интеграл: Общее решение: Проверим x = -1 - особое решение, y = 0 - решение, которое можно получить из общего.

4 Однородные дифференциальные уравнения Функция F(x, y) – однородная k-го порядка, если для любого параметра t выполнено F(tx, ty)=t k F(x, y). Однородные уравнения: где F(x, y), G(x, y) – однородные функции к-го порядка. Метод решения: сведение к уравнению с разделяющимися переменными заменой: или

5 Однородные дифференциальные уравнения Пример 2. Найти решение уравнения Решение. Введем замену тогда получаем, откуда Интегрируем общий интеграл

6 Линейные дифференциальные уравнения Уравнение вида - линейное уравнения 1-го порядка. Метод решения: сведение к системе уравнений с разделяющимися переменными. Замена Подставим в уравнение Найдем v(x) частное решение уравнения: тогда u(x) общее решение уравнения:

7 Уравнение Бернулли Уравнение вида - уравнение Бернулли. Метод решения: аналогично линейному уравнению сведение к системе уравнений с разделяющимися переменными. Замена Получаем систему уравнений