УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. - презентация

1 УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

2 УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Теорема. Угол между наклонной и плоскостью является наименьшим из всевозможных углов между этой наклонной и прямыми, лежащими в данной плоскости. Доказательство. Пусть a - наклонная к плоскости α, О - их точка пересечения, b - ортогональная проекция наклонной, c - прямая в плоскости α, проходящая через точку О. Докажем, что угол между прямыми a и b меньше угла между прямыми a и c. Для этого на прямой a возьмем точку А, отличную от О, и ее ортогональную проекцию B. На прямой c отложим отрезок ОC, равный ОB. В треугольниках АОB и AOC сторона АО общая, ОB = OC и AB < AC. Следовательно, AOB < AOC.

3 Упражнение 1 Прямые a и b образуют с плоскостью α равные углы. Будут ли эти прямые параллельны? Ответ: Нет.

4 Упражнение 2 Две плоскости образуют с данной прямой равные углы. Как расположены плоскости относительно друг друга? Ответ: Параллельны или пересекаются.

5 Упражнение 3 Под каким углом к плоскости нужно провести отрезок, чтобы его ортогональная проекция на эту плоскость была вдвое меньше самого отрезка? Ответ: 60 о.

6 Упражнение 4 Может ли катет равнобедренного прямоугольного треугольника образовать с плоскостью, проходящей через гипотенузу, угол в 60°? Каков наибольший угол между катетом и этой плоскостью? Ответ: Нет, 45 о.

7 Упражнение 5 Одна из двух скрещивающихся прямых пересекает плоскость под углом 60°, а другая перпендикулярна этой плоскости. Найдите угол между данными скрещивающимися прямыми. Ответ: 30 о.

8 Упражнение 6 В кубе найдите угол между: а) диагональю боковой грани и плоскостью основания; б) диагональю куба и плоскостью основания; в) диагональю боковой грани и диагональным сечением. Ответ: а) 45 о ;в) 30 о. б) sin = ;

9 Упражнение 7 Найдите угол между ребром правильного тетраэдра и не содержащей его гранью. Ответ: cos =.

10 Упражнение 8 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро b. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Ответ: cos =.

11 Упражнение 9 Будут ли в пирамиде боковые ребра равны, если они образуют равные углы с плоскостью основания? Ответ: Да.

12 Упражнение 10 Через сторону квадрата проведена плоскость, составляющая с диагональю квадрата угол 30°. Найдите углы, которые образуют с плоскостью стороны квадрата, наклонные к ней. Ответ: 45 о.

13 Упражнение 11 Основание равнобедренного треугольника лежит в плоскости α (плоскость треугольника не совпадает с плоскостью α). Какой из углов больше: угол наклона боковой стороны к плоскости α или угол наклона высоты, опущенной на основание треугольника, к плоскости α? Ответ: Угол наклона высоты.

14 Упражнение 12 Из вершины A квадрата ABCD перпендикулярно его плоскости проведен отрезок AK, равный 3. Из точки K опущены перпендикуляры на стороны BC и CD. Перпендикуляр из точки K к стороне BC равен 6. Найдите углы, которые образуют эти перпендикуляры с плоскостью квадрата. Ответ: 30 о.