Упражнение 1 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равна 8 (стороны. - презентация

1 Упражнение 1 На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F 1 и F 2 равна 8 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

2 Определение эллипса Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F 1, F 2 есть величина постоянная, называется эллипсом. Точки F 1, F 2 называются фокусами эллипса. Таким образом, для точек A эллипса с фокусами F 1 и F 2 сумма AF 1 + AF 2 постоянна и равна некоторому заданному отрезку c, большему F 1 F 2.

3 Упражнение 2 Для точек F 1, F 2 найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до точек F 1, F 2 а) меньше c; б) больше c. Ответ: а) Точки A, расположенные внутри эллипса; б) точки A, расположенные вне эллипса.

4 Рисуем эллипс По данному рисунку укажите способ построения эллипса с помощью кнопок, нитки и карандаша.

5 Касательная к эллипсу Прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку, называется касательной к эллипсу. Общая точка называется точкой касания. Теорема. Пусть А - произвольная точка эллипса с фокусами F 1, F 2. Тогда касательной к эллипсу, проходящей через точку A является прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с углом F 1 AF 2. Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

6 Фокальное свойство эллипса Если источник света поместить в фокус эллипса, то лучи, отразившись от эллипса, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.

7 Построение касательной По данному рисунку укажите способ построения касательной к эллипсу, заданному фокусами F 1, F 2, проходящей через точку C, с помощью циркуля и линейки.

8 Упражнение 3 Сколько касательных можно провести к эллипсу из точки: а) принадлежащей эллипсу; б) лежащей вне эллипса; в) лежащей внутри эллипса? Ответ: а) Одну; б) две; в) ни одной.

9 Упражнение 4 Дан эллипс с фокусами F 1, F 2 и константой c. Найдите наибольшее расстояние между точками эллипса. Ответ: c.

10 Упражнение 5 Расстояние между фокусами эллипса равно 4 см. Константа c равна 6 см. Найдите наименьшее расстояние от точек эллипса до фокуса. Ответ: 1 см.

11 Упражнение 6 Для заданных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых периметр треугольника АВС равен постоянной величине с. Ответ: Эллипс без двух точек.

12 Упражнение 7 Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами O 1, O 2 и суммой радиусов c = R 1 + R 2 (c > O 1 O 2 ). Ответ: Эллипс.

13 Упражнение 8 Что будет происходить с эллипсом, если константа c не изменяется, а фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга? Ответ: а) Эллипс приближается к окружности радиуса c/2; б) эллипс приближается к отрезку длины c.

14 Упражнение 9 По данному эллипсу укажите способ нахождения его фокусов. Ответ: Проведем отрезки AB и CD, соответственно, наибольшей и наименьшей длины. С центром в точке C и радиусом OA = OB опишем окружность. Ее точки пересечения с AB будут искомыми фокусами.